Ich vermiete mein Haus, der Mieter will ein Pool bauen, ich erlaube ihn Pool zu bauen. Wenn er aussieht kann ich der Pool behalten? Muss ich ihn Geld zahlen?

will ein Pool bauen, ich erlaube ihn Pool zu bauen. 

Würde ich ihm vermutlich auch zugestehen.

Wenn er aussieht kann ich der Pool behalten?

Klar, denn er passt nicht in den Umzugs LKW

Muss ich ihn Geld zahlen?

Das solltet Ihr klar vereinbaren.

Er will vermutlich Geld haben. Ich würde ihm dagegen sage, dass ich im Ausgleich darauf verzichte, denn alten Zustand wieder herzustellen. Es würde ihn tausende kosten den Pool abzureissen und den Bauschutt zu entfernen, sowie die Erde wieder anzufahren und den Garten wieder herzustellen.

Geht es um einen oberirdischen Pool, also ein größeres Planschbecken oder muss er in den Boden rein?

Wenn du den Pool, der in den Boden reingeht erlaubst ist das Kind schon im Brunnen. Warum macht man so was???

Wenn er kündigt, weil ihm der Pool nicht mehr gefällt, zu viel Abeit macht oder nach dem vierten mal umstürzen zu teuer wird, habt ihr hoffentlich zur Genehmigung (also davor) eine möglichst gute Regelung getroffen. Ich würde ihn in der Reglung zum Rückbau und Wiederherstellung des vor dem Pool bestehenden Zustandes verpflichten. Das wird für ihn teuer aber nicht du sondern er möchte den Pool und der Pool in der Erde schränkt die Wiedervermietbarkeit deutlich ein. Sollte ein Nachmieter den Pool wollen, kann man dann immer noch eine für beide Seiten billige Lösung finden.

Wenn ich Vermieter wäre, würde ich das gar nicht ohne weiteres erlauben. Das gibt nur Streit (Rechtsstreitigkeiten), wenn der Mieter mal auszieht.

Es kann ja jederzeit passieren, dass der Mieter doch wieder auszieht. Andere Arbeitstelle, Krankheit, Sonstiges.

Man könnte natürlich auch eine Vereinbarung aufsetzen. Die Kosten von z.B. 10.000,-€ werden über 10 Jahre "abgeschrieben". Wenn der Mieter also nach 2 Jahren auszieht, zahlst Du ihm 8.000,-€ und kannst durch den Pool entsprechend mehr Miete erzielen. Ja herzlichen Glückwunsch. Ich würde so etwas als Vermieter nicht unterschreiben. Es sei denn, ich erhoffe mir wirklich eine Wertsteigerung. Falls der Mieter überhaupt qualitativ hochwertig baut.

Per se hätte der Mieter allerdings keinen Anspruch gegen Dich, aber er könnte und müsste den Pool wieder ausbauen.

Das alles hängt davon ab, was ihr beiden vereinbart. Ihr solltet vereinbaren, was passiert, wenn der Vermieter auszieht. Z.B. "Bei Auszug bleibt der Pool bestehen und geht ins Eigentum des Vermieters. Der Mieter kann keinen Ersatz verlangen. Die Instandhaltung des Pool während der Mietzeit ist alleine Sache des Mieters."

Schlicht und ergreifend - wenn der Mieter auszieht kann er seinen Pool schlecht mitnehmen - Anspruch auf wirtschaftlichen Ausgleich steht ihm diesbezüglich nicht zu.