Darf ich auf eigene Kosten eine Wasseruhr in meiner Mietwohnung einbauen lassen?

Kannst du machen. Musst halt vorher den Vermieter fragen und das Dingen nach Auszug wieder entfernen. Fachgerechter Einbau setze ich mal als selbstverständlich voraus. Einen Anspruch auf verbrauchsabhängige BK-Abrechnung hast du dadurch natürlich nicht, den gibbet nur bei Heizkosten (falls das die nächste Frage wird).

Änderungen an der Installation solltest du ohne Zustimmung des Vermieters nicht vornehmen. Und falls du es doch vorhaben solltest, müsstest du im Zweifel zu deinem Auszug wieder den Zustand herstellen, der vorher war.

Dieser Einbau muss vom Vermieter genehmigt werden. Der wird das sehr wahrscheinlich ablehnen, da dir dieser Wasserzähler nichts nützt, sofern du seine Daten für die Nebenkostenabrechnung verwenden möchtest. Denn in dem Fall müsste bei jeder Mietpartei ein Zwischenzähler eingebaut werden. Und das entscheidet der Vermieter. Wenn in deinem Mietvertrag die Umlage der Nebenkosten nach qm vereinbart ist, dann ist das rechtlich bindend.

Und wozu bitteschön soll das dienen?

Wenn der Wasserverbrauch kraft Mietvertrag nach Wohnfläche oder Personenzahl zu verteilen ist braucht der Vermieter daran nichts zu ändern.

Du musst den Wohnungsbesitzer / Hausbesitzer (Verwaltung) fragen.