Arbeitgeber hat mich zu spät abgemeldet?

Nicht rechtens.

Dein Arbeitgeber trägt hier den Fehler und die Verantwortung. Er muss eine Korrektur der Abrechnung machen und dann die Differenz von dir einfordern. Bei halben Gehalt zahlt du nicht gleich halbe Abgaben, die verhalten sich nicht linear/prozentual anteilig.

Arbeitest du nur einen halben Monat weil das dein erster oder letzter Monat ist, so wird Rechnerisch so getan, als würdest du den ganzen Monat arbeiten gehen, es fallen rechnerisch alle Abgaben auf den vollen Monat an und dementsprechend ist das wenn das dann runtergebrochen wird auf den halben Monat tatsächlich so, das du Netto wie Brutto nur den halben Lohn bekommst oder entsprechend in deinem Fall zurückzahlen musst.

Eine Kündigung muss immer schriftlich erfolgen, ein Zeitvertrag bedarf keiner Kündigung läuft mit Datum ab.

Wenn du also zum 15. aufgehört hast, hast entweder du gekündigt oder dein AG oder ihr habt einen Aufhebungsvertrag gemacht- in dem Fall alles schriftlich. Oder dein Zeitvertrag ist entsprechend abgelaufen, dazu gibt es nichts schriftliches außer deinem Vertrag wo drin steht von wann bis wann du arbeiten musstest.

Ob mehr als die Hälfte richtig ist, weiss ich nicht. Ich weiss aber, dass der Lohnsteuerabzug verhältnismässig höher ist bei Teilzeiträumen. Dann wird die Tagessteuertabelle angewandt.

https://www.lohn-info.de/lohnsteuerabzug4.html

Es lohnt sich dann das Einreichen einer Steuererklärung.

Nun habe ich ein Schreiben bekommen und dieser verlangt nun mehr als die Hälfte (vom Netto Betrag) von dem was sie überwiesen hatten zurück.

So nicht - Du kannst und solltest eine korrigierte Lohnabrechnung, so wie eine geänderte Einkommensbescheiigung für das Finanzamt fordern, bevor Du irgendetwas erstattest.

Inwieweit irgendeine Rückforderung - ob fehlender ( schriftlicher ) Kündigung von beiden Seiten - rechtens ist lasse ich jetzt einmal außen vor. Wurden denn auch evtl. noch bestehende Urlaubsansprüche berücksichtigt?