Kann mich mein Chef auf Schadensersatz verklagen, wenn ich kündige?

Natürlich nicht,

Natuerlich nicht. Vorausgesetzt, dein Arbeitsverhaeltnis unterliegt auch der gesetzlichen Kuendigungsfrist nach BGB 622 Abs. 1 und es wurde arbeits- oder ggf. tarifvertraglich keine andere vereinbart.

Wenn du fristgerecht kündigst und nicht einfach von der Arbeit fernbleibst, dann kann Dein Chef nichts fordern.

Gibt es irgendeine Vereinbarung, dass Du z.B. einen bestimmten Zeitraum bei der Firma bleiben musst?

Das könnte man vereinbaren wenn der Arbeitgeber Kurse oder Fortbildungen freiwillig bezahlt, die er nicht bezahlen müsste.

Falls es keine Vereinbarung gibt, kann Dir auch nichts passieren, wenn du fristgerecht kündigst.

Einfach so geht das nicht. Es kann gewisse Zusatzvereinbarungen geben, zb wenn der AG Dich auf eine teure Schulung geschickt hat, dass Du die ggf Anteilsmäßig erstatten musst, wenn Du kurz darauf das Unternehmen verlässt. Solche Vereinbarungen müssen aber selbstverständlich VORHER getroffen werden. (Und selbst dann kann es sein, dass sie im Einzelfall nicht gültig sind)

Üblich waren/sind zb Bindungsverträge für die Zeit nach einem dualen Studium, wobei da meines Wissens auch schon viele von den Gerichten wieder kassiert wurden.

Wenn es eine fristgerechte Kündigung war ist alles in Ordnung und er kann dir nichts.

Wie schön genannt, könnte es natürlich Vereinbarungen geben. Gibt es diese, müsstest du eben je nach Abmachung noch erscheinen um diese zu Erfüllen. Gibt es keine und du hast fristgerecht gekündigt ist alles in Ordnung