Wer räumt wenn die Mieterin verstorben ist?

Das Sozialamt wäre ausschließlich dann zu weiterer Mietzahlung oder zur Räumung der Wohnung verpflichtet wenn es Partei des Mietverhältnisses ist oder eine Bürgschaft in unbegrenzter Höhe abgegeben hat.

In den Jahrzehnten meiner Vermietertätigkeit ist mir ein solcher Fall nicht untergekommen und der wird auch da nicht vorliegen. Das Sozialamt zahlt mithin keinen Cent.

Zahlen müßten die Erben. Allerdings werden die so schlau sein das Erbe auszuschlagen.

In letzter Instanz erbt zwar der Staat. Der braucht aber nicht für Schulden einzustehen.

Ergo: Bleibt alles an Dir hängen.

Das ist eine doofe Situation als Vermieter. Wenn die Verwandten das Erbe ausschlagen, fällt das Erbe an den Staat. Beerdigungskosten sind ggf. vorher von der Erbmasse abzuziehen. Der Staat haftet wiederum nur mit der Erbmasse. Wenn nichts da ist, könnt ihr auch keine Ansprüche durchsetzen.

Ich glaube auch nicht, dass das Sozialamt zukünftige Mietzahlungen für eine Tote übernimmt.

Wendet euch an das Nachlassgericht (üblicherweise im örtlichen Amtsgericht ansässig). Die Mitarbeiter dort können euch (hoffentlich) verbindlich Auskunft geben, wie weiter zu verfahren ist.

Rein rechtlich gesehen, wer ist nun zuständig für die Mietzahlung für Oktober und November 2021? Wer für die Entrümpelung?

Für all das wären die Erben zuständig - so weit sie denn das Erbe nicht ausschlagen - ansonsten wirst Du wohl als Vermieter auf diesen Kosten sitzen bleiben.

Das wird Niemand bezahlen wenn sie kein Geld mehr hatte.