Viele Fragen zu freier Mitarbeit und Arbeitslosigkeit - was genau muss ich tun?

Kenne mich leider noch nicht so gut aus: Mein Arbeitsvertrag endet diesen Monat. Leider wurde mir in der Probezeit gekündigt - die Auftragslage ist im Sommer leider gleich 0. Habe 5 Monate beim jetzigen Arbeitgeber in Vollzeit gearbeitet. Davor habe ich mein Studium abgeschlossen, zwischen Abschluss und Beginn des Arbeitverhältnis war ich einige Monate arbeitssuchend.

Habe mich telefonisch schon beim Arbeitsamt arbeitssuchend gemeldet. Anspruch auf ALG1 habe ich nicht, da ich zu kurz beschäftigt war. ALG2 wohl auch nicht, da ich durch ein Erbe seit Ende letztem Jahres ein paar Mieteinnahmen habe. Ca. 1000€ pro Monat brutto. Muss mich aber noch mit jemandem vom Amt treffen.

Nun hab ich ab 1. Mai also keinen Job mehr. Allerdings ein Angebot als freier Mitarbeiter bei einem seriösen Medienunternehmen. Das würde ich gerne machen, denn es wäre sicherlich gut für meinen Lebenslauf und die Arbeit würde Spaß machen. Erstmal drei Monate auf Probe: 5 Tage pro Monat mit einer Tagesgage von 225 Euro. Wäre ab Mai (in der dritten Mai-Woche hätte ich meine 5 Tage für den Mai).

Ich würde mich aber weiter bewerben, evtl kann ich ab September eine Festanstellung bei einem anderen Arbeitgeber haben. Hoffentlich.

Nun weiß ich nicht, was ich Versicherungstechnisch machen soll und brauche mal einen Rat: Ein bißchen gegoogelt habe ich, werde daraus aber nicht schlau.

Aktuell bin ich noch über meinen Arbeitgeber versichert, muss meiner Krankenversicherung aber mitteilen, was ab Mai ist.

Noch habe ich für die freie Mitarbeit nichts unterschrieben (weiß auch nicht genau, ob ich überhaupt etwas bekomme - einen Arbeitsvertrag bekomme ich ja nicht?) aber mündlich die Zusage und auch per Mail, dass es beantragt sei.

Was sage ich denn nun meiner Krankenversicherung? Ich will weiter in der gesetzlichen bleiben, eben dann wohl wieder freiwillig, wie im letzten Jahr, als ich arbeitssuchend mit eigenen Mieteinnahmen war. Damals bekam ich keine Leistungen vom Amt außer der Anrechnung der Rentenpunkte.

Wenn ich aber freier Mitarbeiter bin, bin ich dann überhaupt noch arbeitssuchend? Wahrscheinlich doch nicht - kann ich denn dann freiwillig weiter Rentenbeiträge zahlen? Und wie läuft das? An wen muss ich mich wenden und wieviel Kosten kommen da auf mich zu in etwas?

Und: Kann ich auch freiwillig Arbeitslosenversicherung zahlen? Muss ja irgendwann mal auf meine 12 Monate kommen, für den Fall, dass ich nach der freien Mitarbeit den anderen festen Job bekomme, den aber wieder verlieren sollte? An wen wende ich mich da und was käme da an Kosten auf mich zu?

Und was müsste ich als freier Mitarbeiter sonst für behördliche Sachen abklären? Muss ich dem Finanzamt im Vorfeld bescheid geben? Ich blicke einfach nicht mehr durch. Vielleicht kennt sich da jemand aus und kann mir helfen? Oder an wen wendet man sich da am besten?