Muss der Vermieter mir die Adresse/Telefonnummer meines Vermieters herausgeben?

Nein, dass muss der Vermieter nicht. Und ohne Einverständnis des Vormieters darf er das auch gar nicht. Ich würde meinem Ex - Vermieter persönlich den Hals umdrehen, wenn er meine Telefonnummer / Adresse ohne mein Einverständnis an wildfremde Leute rausgibt.

Die Adresse des Vormieters kannst du, wenn du berechtigtes Interesse nachweisen kannst, gegen klingende Münze beim Einwohnermeldeamt erfragen. Vorausgesetzt, der Betroffene, hat keine Auskunftssperre. Dann bekommt die Adresse nur die Polizei. Kommt aber relativ selten vor.

Wenn du ein berechtigtes Interesse nachweist, kannst du den Namen des Vormieters auf dem Einwohnermeldeamt erfahren (gegen Gebühr). 

Der Vermieter ist nicht verpflichtet, dir diese Auskunft zu geben. Er kann sich außerdem noch auf den Datenschutz zurück ziehen.

Er muss und er darf sogar nicht einfach Daten eines ehemaligen Mieters weitergeben.

Nein, das muß er nicht. Eventuell auf Nachfrage, wenn es vor Gericht geht. Aber dir gegenüber nicht.

Der Tip mit den nachbarn fragen ist schon gut.

Der Vormieter ist nach einer Herausgabe der Mietsache an den Vermieter nach Ende der Mietzeit aus dem Spiel. Dein Vertragspartner ist der Vermieter. Welche Aussagen widersprechen sich denn in Bezug auf Schimmelbefall?

Der Vormieter könnte nur als Zeuge bei einer Gerichtsverhandlung zu laden sein. Aber die Klage ist noch nicht eingereicht.