Garten laut Mietvertrag kein allgemeingarten?

Wenn der Mietvertrag einen Garten verspricht, der zur Wohnung gehört, dann ist dies selbstverständlich so zu verstehen, dass dieser exklusiv zur Wohnung gehört.

Wenn Der vermieter nicht reagiert, würde ich dazu raten, einen Anwalt zu konsultieren, um Möglichkeiten abwägen zu können.

Ob Pflanzen zerstört werden dürfen, weiß ich nicht. Für die Instandhaltung der Mietsache ist der Vermieter zuständig, allerdings kann das Pflanzen von pflanzen durch den Mieter zur erlaubten Nutzung gehören und dessen Eigentum, auch wenn es mit der Mietsache verschmolzen ist, darf nicht zerstört werden (auch, da es trotz § 946 BGB wegen § 95 BGB nicht Teil des Grundstücks wird).

Entscheidend ist jetzt, was in der teilungserklärung steht.
steht der Garten im sondereigentum deines Vermieters?
wenn das nicht der Fall ist, so konnte er ihn auch nicht vermieten.

Es hört sich so an, dass der Garten nicht für Deine alleinige Nutzung gedacht ist, sondern dass ihn alle Mieter nutzen dürfen, natürlich auch Du.

Ausschlaggebend ist der Mietvertrag. Wenn es so drinsteht, ist es auch so, denn der Vermieter ist daran gebunden. Mag sein, daß es von früher her Sitte war, daß er gemeinschaftlich genutzt wurde. Aber dann sollten auch alle anteilmäßig beisteuern.

Wirr.

Was genau steht denn nun in deinem MV? Denn aus

in meinem Mietvertrag steht ganz klar drinnen das der Garten an meiner Terrasse zur Wohnung gehört.

kann man nun nicht erkennen, ob hier der ganze Garten oder nur ein Anteil gemeint sein soll. Bitte die exakte Formulierung einstellen.

Eine ältere Nachbarin (zeitgleich auch Eigentümerin ihrer Wohnung) die laut Vormieterin schon immer anstrengend war behauptet allerdings das dieser Garten ein Gemeinschafts Garten sei.

Dann muss sie das ja belegen können. Falls nicht, rauswerfen und ignorieren, mit Anzeige drohen im Wiederholungsfall (unbefugtes Betreten / Hausfriedensbruch).

Die Hausverwaltung scheint sich laut Mail nicht um den Garten zu kümmern aber ist zuständig für die Beauftragung des Gärtners.

Wenn der Garten kein Gemeinschafts- sondern Sondereigentum ist, wäre das korrekt. Das wiederum würde dein Verständnis des geschlossenen MV unterstützen. Genaueres kann nur die HV bzw. der VM dazu sagen, da diese das Grundbuch sowie die TE kennen.

Was greift hier jetzt

Es gilt, was tatsächlich Sachstand ist.

und wie kann ich das Regeln?

Den VM mit Fristsetzung auffordern, entweder die HV zu beauftragen, für die Durchsetzung der rechtlich korrekten Trennung von Gemeinschafts- und SOndereigentum Sorge zu trage, notfalls per Androhung rechtlicher Schritte gegen die betreffende Miteigentümerin, oder selbiges selbst zu tun.

Sollte allerdings der Garten tatsächlich nicht zu deiner Wohnung gehören, solltest du dich anwaltlich beraten lassen, da sich dann der VM je nach exakter Formulierung im MV schadenersatzpflichtig gemacht haben könnte.