Berufsausbildungsbeihilfe für Tochter, die noch zu Hause lebt - sollte sie in den Mietvertrag mit aufgenommen werden?

Volljährige Tochter, die noch bei mir zu Hause lebt, hat einige Monate ALG II bezogen, jetzt aber Ausbildungsplatz gefunden (BAE), worauf sich das JC erst nach einigem Hin und Her eingelassen hat. Das Geld im 1. Ausbildungsjahr ist viel niedriger als das vorher bezogene ALG II, damit werden wir überhaupt nicht klarkommen, da ich Frührentnerin mit geringer Rente bin, die sowieso aufgestockt werden muss und trotzdem nicht gereicht hat, weswegen meine Tochter zum Haushalt immer ihren Teil dazu leisten musste.

Ich bin dieses Jahr geschieden worden, der Mann hat zwar ein eigenes Haus, in dem er jetzt mit seiner jungen Geliebten wohnt, aber er hat nur eine Mini-Rente, weil er wegen seiner Selbstständigkeit kaum in die Rentenkasse eingezahlt hat, weswegen da auch nichts zu holen ist.

Nun wurde meiner Tochter gestern bei einem persönlichen Gespräch mit den entsprechenden amtlichen Personen mitgeteilt, dass sie mehr Geld (BAB) bekommen könne, wenn sie in einer eigenen Wohnung leben würde ODER in meinen bestehenden Mietvertrag mit aufgenommen werden würde. Das macht mir jetzt Sorge, da meine Recherchen im Internet ergeben haben, dass eine volljährige Person nur BAB bekommt, wenn sie einen eigenen Haushalt führen muss, weil sie zu weit weg wohnt. Die Fahrzeit zum Betrieb beträgt keine 2 Stunden. Ich muss aber davon ausgehen, dass ihre versierten Gesprächspartner schon wussten, was richtig ist und meiner Tochter nichts Falsches erzählt haben, da sie ja von dort auch immer tolle Unterstützung und Rat bekommen hat.

Wenn das nun tatsächlich stimmt (was ich ja nun hoffe), kann ich denn vom Vermieter einfach so verlangen, dass meine Tochter in den Mietvertrag aufgenommen werden soll? Zeitpunkt: ab sofort oder früher, da sie ja genau so lange hier wohnt wie ich? Muss der Vermieter für uns beide nun einen neuen Mietvertrag ausstellen oder kann der alte Mietvertrag einfach nur durch einen Zusatz geändert werden? Tatsächlich steht der Ex noch mit drin (ist eigentlich auch wichtig), der hat sich nach seinem Weggang um nichts mehr gekümmert. Wenn der Herr nun aus dem Mietvertrag rausgenommen wird, kann er auch für nichts mehr herangezogen werden, was diese renovierungsbedürftige Wohnung betrifft, wenn ich hier ausziehen muss, auch nicht für Kosten der Entrümpelung des komplett von ihm zugestellten Kellers.

Ich weiß nicht so recht, was jetzt richtig ist und wie ich weiter vorgehen soll. Danke für jeden Tipp.