wer zahlt eine neue Badewanne?

In der Frage ist eindeutig formuliert, dass der Mieter die Abplatzungen verursacht hat. Er kann nun über seine Haftpflichtversicherung, insofern es denn eine gibt, den Schaden regulieren lassen. Die Versicherung wird prüfen, ob die Forderung in der Höhe wie vom Vermieter berechnet, berechtigt ist. Wenn sie nicht neu ist sondern schon ein paar Jahre auf dem Buckel und deutliche Abnutzungserscheinungen haben sollte, käme wohl versicherungstechnisch nur der Zeitwert in Frage. Das entscheidet aber die Versicherung und damit muss der Vermieter auch leben. Er kann nicht die vollen Kosten an den Mieter weitergeben. Also dem Vermieter den Schaden melden, dieser macht einen Kostenvoranschlag, den dann mit der Schadensmeldung (diese muss zeitnah, besser umgehend ) der Versicherung gemeldet werden. Die Versicherung wird dann den Vordruck für die Schadensmeldung zusenden und dieser ist baldmöglichst zurückzureichen mit den konkreten Angaben zur Verursachung. Sobald die Arbeit dann erledigt ist und die Rechnung des Vermieters vorliegt, diese mit der Angabe des Leistungsempfängers nachreichen.

Wenn Du den Schaden verursacht hast, kann er das und Du kannst es Deiner Haftpflichtversicherung melden.

Nein.
So lange die Wanne nutzbar ist, muss sie nicht ausgetauscht werden.
Ist sie das nicht mehr, kannst du vom Vermieter einen Austausch verlangen und ansonsten mit Mietminderung drohen.
Alles andere ist nicht möglich.
Ich gehe davon aus, dass du die Wanne nichtg beschädigt hast?
Wenn sie aus freiem Himmel rostet, hat der Mieter den Schaden nicht verursacht.

Darf er. Wenn Du die Wanne beschädigt hast, hat der Vermieter Anspruch auf Ersatz.

eine Wanne hat eine Lebensdauer von ( in der Schweiz ) 20 Jahren. Der Vermieter darf Dir einen Anteil am Zeitwert in Rechnung stellen.