Kann der Vermieter einfach hinter meinem Rücken mit dem Nachmieter einen späteren Einzugstermin vereinbaren?

Der darf das!

einen Nachmieter gefunden, der bereit wäre zum 01.01 einzuziehen

Scheinbar war der Nachmieter doch nicht bereit, bereits zum 1.1. umzuziehen.

Dass der Vermieter ohne Euch zu fragen einen Mietvertrag unterschreibt, ist nicht dreist, sondern sein gutes Recht. Du hast damit gar nichts zu schaffen.

Rein zufällig war es wohl so, dass der Deinen vorgeschlagenen Kandidaten so gut fand, dass er gleich als Nachfolger in Frage kam, wobei dem Vermieter in dem Moment wohl egal war, ob dieser bereits Anfang Januar oder erst im Februar einzieht. Hauptsache, er kann einen Vertrag mit ihm machen.

Wenn ich Dich richtig verstehe, läuft Dein Mietvertrag offiziell noch bis mindestens Ende Januar und Du hast bereits eine neue Wohnung ab Anfang Januar. Das gibt Dir jetzt die Möglichkeit, Deinen Umzug und ggf. auch die Renovierung von zwei Wohnungen, sofern erforderlich, in Ruhe zu machen. Möglicherweise erspart Dir das auch einen hohen finanziellen Aufwand, sodass sich der Schaden in Grenzen halten läßt.

Einen Umzug so zu timen, dass man am Ende eines Monats aus einer Wohnung auszieht, um sofort in die neue einzuziehen, die wiederum erst am fraglichen Monatsanfang frei wird, halte ich sowieso für Harakiri.

Wenn es bei Dir so ist, nimm es so hin, ärger Dich nicht weiter, sondern zieh jetzt in Ruhe um.

Nein, kannst du nicht.

Klar ist dann aber auch, daß Schlüsselübergabe erst Ende Januar ist. Du zahlst Miete, es ist Deine Wohnung. Weder Nachmieter noch Vermieter haben das Recht, vorher die Wohnung zu betreten.

Bevor du das dem Vermieter klar machst, laß dir aber erst die Kündigung zum 31.01. bestätigen.

Weder hast Du einen gesetzlichen Anspruch darauf, daß der Vermieter bei einem unbefristeten Mietvertrag mit der gesetzlichen Kündigungsfrist gem. § 573 c BGB einen von Dir vorgeschlagenen Nachmieter überhaupt akzeptieren, noch Dir die Kündigungsfrist sozusagen verkürzen muß.

"Bescheid gesagt". Das ist schonmal ungültig. Kündigungen haben schriftlich zu erfolgen! Dein Vermieter scheint da grosszügig zu sein, ist zumindest auch noch nett von ihm, dass er einen potentiellen Nachmieter akzeptiert, muss er nämlich überhaupt nicht, auch wenn das so gern am Stammtisch erzählt wird. Die Kündigung muss bis zum 3. Werktag eines Monats erfolgen und beeinhaltet eine gesetzliche Kündigungsfrist von 3 Monaten. Die Mietzeit endet damit am 28. Februar 2017. Von Verarschung kann hier also definitiv keine Rede sein, er spart dir sogar einen Monat. Es entspricht alles dem Gesetz, also sei höflich und bedanke dich.

Das ist aber sonderbar !

Wieso redeten sie nicht mit dem der in ihre Wohnung früher einziehen sollte ?  Da ist ihr Problem !