Kann das Job Center nach der Arbeitsaufnahme den Arbeitsvertrag verlangen?

Ja doch, der Arbeitsvertrag geht die was an. Zumindest, was den Zeitpunkt der Arbeitsaufnahme angeht. Und wenn Du weiter Geld von der ARGE haben willst, dann sowieso - Arbeitsstunden pro Woche und Gehalt. Schließlich soll weder eine Überzahlung unentdecktt bleiben noch ein zukünftig geltend gemachter Hilfebedarf ungeprüft bleiben.

nicht kann, sondern müssen den verlangen, event. bleibst du trotz Arbeit noch im Leistungsbezug? Zudem steht im Arbeitsvertrag mehr drin, als nur auf deinem Kontoauszug!? Wo, als was? für wie lange? Teil- oder Vollzeit? Werden Überstunden extra bezahlt? Gibts Weihnachstgeld oder zulagen? und und und ... deshalb müssen den Arbeitsvertrag als Kopie deiner Akte beifügen!

Arbeitsvertrag geht das Jobcenter in der Tat nichts an, zumal auch mündliche Verträge rechtswirksam sind.
Aber ggf. muss das Bestehen eines Arbeitsverhältnisses nachgewiesen werden sowie etwaige Einkommenszuflüsse, wobei das, was auf deinem Konto landet, nicht hineichend aussagekräftig ist.
Das heißt, der Arbeitgeber wird eine entsprechende Bescheinigung ausfüllen müssen.

Natürlich musst Du den vorlegen. Was glaubst Du wie oft die Mitarbeiter da angelogen werden. Die müssen doch wissen wo und bei wem Du arbeitest und wieviel du da verdienst....wichtig ist auch die Anzahl der Stunden...alles unter 15 Stunden wöchentlich spielt bei den Vermittler der Arge kein Rolle.

Wieso ist das ein Problem...?

Die werden vermutlich auch von der ersten Lohnabrechnung noch eine Kopie anfordern...