Habe einen Mietvertrag unterschrieben nur hat mir das Jobcenter verboten, in die Wohnung einzuziehen. Habe für die Wohnung eine Kaution gezahlt, jetzt will die?

Du kommst aus dem Mietvertrag nur raus, wenn Du ihn fristgerecht kündigst. Fristgerecht bedeutet dann wohl bis zum 3. Werktag im Dezember, also bis zum Samstag schriftlich und sicher eingehend bei der Vermieterin.

Kündigungsschreiben verfassen und am besten per Einwurf-Einschreiben schon heute oder spätestens morgen zur Post bringen und absenden. Nur dann kannst Du sicher sein, dass Du nicht nur für drei Monate, sondern evtl. sogar für vier Monate Miete bezahlen musst.

Wieviele Monatsmieten umfasst die Kaution? Möglicherweise genau die drei Monatsmieten, die Du auf jeden Fall schuldig bist. Somit hat die Vermieterin natürlich das Recht, die Kaution einzubehalten. Dennoch bist Du aber verpflichtet, die Miete zu bezahlen. Diese Doppelzahlung kannst Du nur weg bekommen, wenn Du mit der Vermieterin sprichst und sie damit einverstanden ist.

Darüberhinaus wird die Vermieterin natürlich versuchen, die Wohnung neu zu vermieten, sobald es geht. Ab dem Moment, wo ein neuer Mieter einzieht, bist Du aus der Zahlungsverpflichtung endgültig raus. Du kannst also nur hoffen oder helfen, dass die Vermieterin möglichst schnell Ersatz findet.

darf die Vermieterin das Geld für einen Monat von der Kaution einbehalten,

Wieso nur für einen Monat? Sie darf die ganze Kaution einbehalten und verlangen das Du deine vertraglichen Pflichten erfüllst.

Hast Du den Mietvertrag überhaupt form- und fristgerecht gekündigt?

Ob du einziehst oder nicht ist der Vermieterin egal. DU hast einen Vertrag abgeschlossen und solange der besteht musst du auch die Miete zahlen. Du solltest also schnell Kündigen, für die drei bzw. vier Monate musst du aber die Miete bezahlen.

Das ist irgendwie verwirrend.

Du hast einen Mietvertrag unterschrieben und ziehst dort nicht ein? Grundsätzlich wurde hier ein wirksamer Mietvertrag abgeschlossen, den Du auch kündigen musst.

Neben der Miete für mindestens 3 Monate, musst Du auch die Kaution in voller Höhe zahlen.

Verträge werden eigentlich deswegen abgeschlossen, damit die jeweiligen Parteien eine Sicherheit haben und sollten auch eingehalten werden.
Um aus einem Vertrag rauszukommen, muss man den fristgerecht kündigen.
Sollte aber alles im abgeschlossenen Vertrag drinnen stehen. Ob du dann einziehst oder nicht ist nicht relevant.