Bin ich an eine mündliche Mietzusage seitens des Vermieters gebunden?

Deine Frage ist nicht so einfach zu beantworten. Vermutlich hat der Vermieter ein Angebot schriftlich offeriert, das dich bewogen hat, die Mietsache in Augenschein zu nehmen um darauf hin das Angebot des Vermieters anzunehmen oder abzulehnen bzw. nach Bedenkzeit dich dafür oder dagegen zu entscheiden. Auch der Vermieter hat die Möglichkeit dich als Mieter anzunehmen oder abzulehnen, nachdem er dich als möglichen Vertragspartner kennengelernt hat.

Bei deinem Treffen mit dem Vermieter geht es also zunächst nur um eine Vertragsanbahnung, in dessen Folge es zu einem Vertragsabschluss kommt. Übergibt dir der Vermieter einen schriftlichen Vertragsentwurf, dann macht er ein offizielles Vertragsangebot. Über diesen Entwurf kann noch verhandelt werden. Erst wenn beide Parteien in ihrem Willen übereinstimmen und den Vertrag unterschreiben, ist der Vertrag wirksam.

Auch ohne Unterschrift kann ein (mündlicher) Mietvertag wirksam werden. Der Mieter nimmt die Wohnung in Besitz, bezahlt die Miete, die Einzelheiten regelt das BGB sehr zum Vorteil des Mieters.

"Falls der Vermieter mir die Wohnung schon zusagt, bin ich daran gebunden?"

Damit hätte der Vermieter dir persönlich ein allgemeines Mietvertragsangebot gemacht, wenn er dir "die Wohnung zusagt". Dieses Angebot kannst du mit oder ohne Bedenkzeit annehmen oder ablehnen. 

Nimmst du an, so bist du daran gebunden. Zu empfehlen wäre dennoch eine Verhandlung über die Parafierung des Vertrages und danach den Vertrag anzunehmen, was einen schriftlichen Mietvertrag zum Ergebnis hat.

Ist von vornherein ein schriftlicher Mietvertrag vereinbart, kommt der Mietvertrag auch nur durch Unterschrift beider Parteien zustande.

Es sei denn, beide einigen sich vorab, dass durch Handschlag bereits der Mietvertrag rechtswirksam abgeschlossen sein soll.

Ein mündlicher Mietvertrag kommt im allgemeinen zustande, dass der Mieter die Schlüssel erhält, einzieht  und Miete zahlt auch ohne dessen schriftliche  Dokumentation.

Wenn man sich über alle Details einig ist, dann ist schon mal ein mündlicher Vertrag zustande gekommen, was aber unter Umständen schwer zu beweisen ist.

Nur die Absicht einen Mietvertrag abschließen zu wollen, da ist noch kein Mietvertrag.

Ein Vertrag kommt durch übereinstimmende Willenserklärung zustande. Wenn ihr beide also zusagt, (das machte man früher mit Handschlag) ist der Vertrag geschlossen. Der bedarf nicht unbedingt der Schriftform.

Der schriftliche Vertrag kann nachträglich erstellt werden.

Ein Vertrag kann auch mündlich zustande kommen. Ich fände ein solches Verhalten auch unfair. Du kannst aber ausmachen, dass der Vermieter Dir eine Bedenkzeit ermöglicht und Dir so lange die Wohnung reserviert. Verpflichtet ist er aber dazu nicht. Er wird das vermutlich nur tun, wenn er von Dir einen guten Eindruck hat und Dich als Mieter gern haben will.