Zahlt in Deutschland Lohnsteuer nur bei Arbeitnehmer oder auch der Arbeitgeber teilweise?

Nein - Lohnsteuer zahlt nur der Arbeitnehmer und der Arbeitgeber ist der verlängerte Arm des Finanzamtes: er muß die Lohnsteuer vom Lohn einbehalten und ans Finanzamt weiterleiten.

Vergißt er das, muß er aus eigener Tasche dem Finanzamt die Steuer zahlen

Lohnsteuer ist Einkommenssteuer und die zahlt jeder für sich. Arbeitnehmer brauchen (und dürfen) die Lohnsteuer nicht selbst abführen - das erlegt der Arbeitgeber mit. Er ist verpflichtet die Steuer zu berechnen und abzuführen. Bezahlt wird sie komplett aus dem Bruttolohn des AN.

ich verstehe diesem Teil nicht ganz, also bedeutet das viellicht

einfach, dass beide Arbeitnehmer und Arbeitgeber zahlen der Lohnsteuer
des Arbeitnehmeres?

Nein.

Die Lohnsteuer ist eine Erhebungsform der Einkommensteuer die als Quellensteuer bei Einkünften aus nicht-selbständiger Arbeit anfällt. Die Steuerschuld trägt alleine der Arbeitnehmer. Für die Durchführung ist allerdings der Arbeitgeber zuständig.

Zu viel gezahlte Lohnsteuer kann der ArbN im Rahmen der Einkommensteuererklärung zurück bekommen.

Diese Vorschrift besagt einfach nur:

Sollten beim Lohnsteuerverfahren Fehler zu-un-gunsten des Finanzamts passieren, kann sich dieses aussuchen, wer den Fehler wiedergutmacht und nachzahlt. Das hängt auch etwas davon ab, zu welcherm Zeitpunkt (noch im gleichen Kj. ?) der Fehler auffällt. 

http://www.gesetze-im-internet.de/estg/__42d.html

nur der Arbeitnehmer zahlt Lohnsteuer (wenn sie fällig wird), der Arbeitgeber ziehts gleich vom Bruttolohn ab und führts an das Finanzamt ab