Wir haben einen stark beschädigten Zaun als Grenze zum Nachbarn. Unklar ist, wem der Zaun gehört. Können wir ihn entfernen od kann der Nachbar Ersatz verlangen?

Erst mal müsst Ihr klären, wen der Zaun gehört. Das geht am Besten mit einem Gespräch.

Eventuell kann man sich ja einigen und den Zaun zusammen reparieren. danach ein gemeinsames Bier oder Grillfest.

Üblicherweise gehört Errichtung und Instandhaltung des Zaunes an der Straßenfront, der Rückfront sowie an der rechten Seite, von der Straße aus gesehen, zu den Plichten des Grundeigentümers. Bei Eckgrundstücken natürlich auch die linke Seite.

Schau nach, wo die Grenzsteine stehen. Wenn der Zaun (üblicherweise) auf dem Nachbargrundstück steht, darfst du ihn nicht anrühren, er gehört zu diesem. Steht er auf der Grenze, müsstest du mit dem Nachbarn reden. Steht er auf deinem Grundstück, darfst du ihn mit Zustimmung des Eigentümers entfernen. Aber nur mit dieser Zustimmung. Ansonsten könnte es passiere, dass du einen neuen errichten musst und der Eigentümer von dir Schadenersatz fordert.

Unklar ist, wem der Zaun gehört. Können wir ihn entfernen od kann der Nachbar Ersatz verlangen?

Natürlich könnt Ihr Ersatz verlangen, Euch verklagen oder auch das Batman-Signal an den Himmel projezieren.
Aber so weit ich weiss, ist es so, dass die Unterhaltskosten für Grenzeinrichtungen regelmäßig von beiden Nachbarn gemeinsam getragen werden (§§ 921 - 922 BGB).

Rede mit dem Nachbarn. 
Das bringt erfahrungsgemäss eh am meisten.

Wenn sich durch reden mit dem Nachbarn nicht herausfinden lässt, wem der Zaun gehört bzw. wo genau die Grenze ist muss man zum Grundbuchamt und schauen was dort erfasst ist.

Ist es der Zaun des Nachbarn und besteht Verletzungsgefahr dann sollte man ihn unter genauer Fristsetzung auffordern diese Gefahr zu beseitigen.

Nach Fristablauf könnte man selber Maßnahmen ergreifen und müsste die Kosten dafür zivilrechtlich einklagen.

Man sollte aber vorher furch einen Anwalt abklären lassen, welche Maßnahmen man ergreifen darf.