Welchen Sachen soll ich bei Schimmel wegschmeißen?

Alles gründlichst waschen! Am besten mit Wäsche-Desinfektionsmittel.

Ich würde die mit Schimmel bewachsenen Möbel zur Sicherheit entsorgen. Falls Du Teppichboden hast, auch den gründlichst reinigen (gibt es spezielle Trockenreiniger für).

Wenn Du Tapeten hast, sollten die auch raus.

Zur Desinfektion von mit Schimmel befallenen Flächen eignet sich ein Spritus:Wasser:Ascorbinsäure(Vitamin-C)-Gemisch. 3/4 Spiritus 1/4 Wasser (wird nur zum Auflösen der Ascorbinsäure benötigt, da unlöslich in reinem Alkohol) und bei einem Liter 1 gehäuften Teelöffel Ascorbinsäure (gibt es günstig in Drogeriemärkten) auflösen. Damit befallene Flächen einsprühen / abwischen. Wichtig: wegen des Spiritus gut belüften und Zündquellen fern halten.

Das beschriebene einfache Mittel tötet den Schimmel zuverlässig ab und verhindert durch die Ansäuerung Neubefall, beseitigt jedoch nicht die optischen Schäden.

Ich würde Dir empfehlen die Wände mit Anti-Schimmel-Farbe (Baumarkt) neu zu streichen.

Als erstes die Matratze raus! Wenn Bett abwaschbar und reinigbar ist, mit Alkohol abwischen. 

Am Schrank die offenen Teile -mindestens aber die Rückwand tauschen. Da Baumangel, würde ich nicht rummachen und alles rausschmeißen. 

Kleidung waschen. Leder etc. ist (wahrscheinlich) hin. Muss man sich anschauen. Such dir hierfür ne Reinigung die sich mit Brand- und Schimmelschäden auskennt.

Teppichboden oder etwas anderes? Teppich muss raus. Bei anderen Belägen ist die Frage was die Ursache war. Die Beläge könnten von unten beaufschlagt sein. Ebenso die Estrichdehnfuge. 

Wer macht die Sanierung? Müssen Bauteile getrocknet werden?

Achtung:

Ich nehme an, dass du die Möbel direkt vor Außenwänden stehen hast/hattest. So konnte die Wand innen nicht von der warmen Raumluft erwärmt werden, während außen die Kälte einwirkte. Daher hattest du eine sehr kalte Wandstelle, an der sich die Luftfeuchtigkeit niederschlug.

Darum Möbel besser vor Innenwände, mindestens aber eine Handbreit von der Wand abrücken. Und besser öfter Lüften (Fenster ganz auf, aber nur jeweils wenige Minuten.) So hast du weniger Feuchtigkeit und auch unbelastetere Luft zum atmen.

Kleidung in der Waschmaschine bei ca 60° aufwärts waschen und Möbel mit hochprozentigem Alkohol (Spiritus, Bio-Ethanol) reinigen. Wenn du eine Firma kennst die dir ein Ozon-Gerät mal in den Raum stellt, wäre das natürlich super.

Alles außer der kleidung weg und schadentsersatz vom Vermieter vordern bzw zum Anwalt den das könnte schon ein baumangel sein wodurch der schimmel zustande kam.