Ordentliche Kündigung von Zeitarbeitsfirma ohne Grundangabe?

Der Arbeitgeber (egal ob Zeitarbeit oder was anderes) muss, sofern das Arbeitsverhältnis dem Kündigungsschutzgesetz unterfällt (im wesentlichen sind die Voraussetzungen: Beschäftigung länger als 6 Monate, Arbeitgeber hat über 10 Mitarbeiter) für die Kündigung einen Grund HABEN. Er muss diesen Grund jedoch nicht im Kündigungsschreiben NENNEN. Es gibt auch keine rechtliche Verpflichtung zur Nennung des Grundes, außer eben dann vor Gericht. Der Arbeitgeber verhält sich also erstmal rechtskonform.

Wenn der AG den Grund nicht im Kündigungsschreiben nennt, heißt dass nicht, dass er sich nicht mit dem Kündigungsschutz auskennt (wie ein anderer Schreiber hier vermutet hat), sondern deutet eher darauf hin, dass er vor einem möglichen Arbeitsgerichtsprozess einfach möglichst wenig Informationen herausgeben möchte um für den Prozess alle Möglichkeiten zu haben. Insofern ist ein solches Verhalten eher so zu deuten, dass sich der AG gut mit dem Kündigungsschutz auskennt und sich - aus seiner Sicht - clever verhält.

und die Zeitarbeitsfirma müsste für eine ordentliche Kündigung einen Grund angeben.

Nein, muss man nicht. Weder Zeitarbeitsfirmen noch andere Arbeitgeber müssen das.

Eine ordentliche Kündigung muss nicht begründet werden. Weder vom Arbeitgeber noch vom Arbeitnehmer (wenn dieser von sich aus seine Stelle kündigt).

Irgendetwas müssen die doch als Kündigungsgrund angegeben haben!

Sei es betriebsbedingt, verhaltensbedingt oder ähnliches. Im zweifel einfach mal Kündigungsschutzklage einreichen, da muss der Arbeitgeber begründen, warum er dich entlassen hat.

Viele Arbeitgeber kennen sich leider nicht mit dem Kündigungsschutzgesetz aus und denken, die können tun was Sie wollen ...

Muss keine Firma. Spätestens wenn du Kündigungsschutzklage einreichst müssen sie sich aber äußern.