Können Minderjährige nach Askaban kommen?

Nein, es ist kein Fall bekannt, dass ein minderjähriger Zauberer bzw. eine minderjährige Hexe jemals in Askaban inhaftiert worden wäre. Ich würde stark vermuten, dass Minderjährige generell nicht mit Askabanhaft bestraft werden, allerdings gibt es dafür keinen definitiven Beweis oder Gegenbeweis. Jedoch gibt es einige Hinweise, welche zumindest darauf schließen lassen, dass Minderjährige von Askaban verschont bleiben.

Am anschaulichsten hierfür ist sicherlich der Fall des damals dreizehn- oder vierzehnjährigen Hagrids, der beschuldigt wurde, die Kammer des Schreckens geöffnet, ein gefährliches Monster auf die Schüler losgelassen und natürlich den Mord an Myrte Warren begangen zu haben. Für diese Taten wurde er „nur“ mit einem lebenslangen Zauberverbot bestraft, welches das Zerbrechen seines Zauberstabes und den Ausschluss von Hogwarts beinhaltete. Wenn man als Minderjähriger schon nicht für den vermeintlich rassistisch angehauchten Mord an einer Muggelgeborenen nach Askaban kommt, wofür dann?! In „Kammer des Schreckens“ wurde der erwachsene Hagrid dagegen allein wegen eines ungünstigen Verdachts gegen ihn in Askaban eingesperrt. Auch andere Askabanhäftlinge sitzen teils wegen viel irrelevanterer Vorfälle ein, so kam bspw. Tarquin McTavish nach Askaban, weil er seinen Muggelnachbarn in einem Teekessel einsperrte.

Ein weiteres Indiz könnte sein, dass Verstöße und Straftaten Minderjähriger gar nicht durch das Ministerium verfolgt werden, sondern die Bestrafung durch die Eltern oder Hogwarts erfolgt.
Wir wissen, dass Lily Evans in den Schulferien regelmäßig Zaubertränke braute. Insofern uns JKR Lilys Knackivergangenheit bisher nicht verschwiegen hat, kann man davon ausgehen, dass sie deswegen nicht nach Askaban gekommen ist.
Als Ron, Fred und George Arthurs Ford Anglia stehlen, um Harry aus dem Ligusterweg abzuholen, obliegt es ihren Eltern, sie dafür zu bestrafen.
Als Ron und Harry den Ford Anglia ein weiteres Mal stehlen, um nach Hogwarts zu fliegen (wobei sie von mehreren Muggeln gesehen werden, was in der Zauberwelt eigentlich ein ziemlich schwerwiegendes Vergehen ist), werden sie nur durch Minerva McGonagall „bestraft“. Die eigentlichen Konsequenzen muss Arthur Weasley in Form einer ministeriellen Untersuchungskommission tragen.
Als Harry Draco mit dem Sectumsempra beinahe tötet, bekommt er lediglich Nachsitzen.
Ähnliches gilt für Draco, der sich weder für den Imperius-Fluch gegen Madam Rosmerta noch die beinahe tödlichen Zwischenfälle mit Katie Bell und Ron oder das Einschleusen der Todesser in Hogwarts verantworten muss.
Hier gibt es die starke Tendenz, dass viele Vergehen „unter den Teppich gekehrt“ und durch die Lehrkräfte statt das Ministerium bestraft werden.  

Ja können sie.

Im dritten Teil, wo Harry, nachdem er seine Tante 'aufgeblasen' hat, Fudge fragt, ob er denn keine Bestrafung kriege, antwortet dieser, dass sie Niemanden nach Askaban schicken, nur wegen solch Kleinigkeiten.

Für mich hieße das auf jeden Fall: Ja. Sonst hätte er das nicht so formuliert.