Kann ich Rechnungen als Nachweis anfordern?

Niemand, der geschädigt wurde, ist verpflichtet, den Schaden sofort zu beseitigen. Dennoch steht ihm Schadensersatz zu. In Deinem Fall durch Abzug von der Kaution.

Angenommen, Du hast wertvolles Parkett beschädigt und der Boden mußte raus gerissen werden. Es wurde jedoch kein neues Parkett verlegt, weil der Nachmieter mit dem Vermieter vereinbart hat, dass er stattdessen selbst und auf seine Kosten einen anderen Belag verlegt. Wenn dieser dann irgendwann auszieht und seinen Boden wieder mitnimmt, was z. B. bei Laminat ohne weiteres möglich ist, steht der Vermieter ohne Fußboden da. So hat er wenigstens den von Dir bezahlten Schadensersatz als Beitrag für eine Neuverlegung, die vielleicht erst in 3 Jahren sein wird.

Du kannst es in Deinem speziellen Fall natürlich auf eine Klage ankommen lassen, aber versprich Dir nicht zuviel davon.

du hast einen Schaden verursacht und zugestanden indem du keinen Widerspruch geleistet hast, als die die Summe von der Kaution abgezogen wurde. Ein Kostenvoranschlag genügt, denn es bleibt ihm ja überlassen, ob er den Schaden von einer Firma reparieren lässt, oder sich dazu entschließt den Schaden selbst zu beheben. Auch diese Kosten kann er dir ja belegen. Bist du im Mieterschutzbund, dann wende dich an die. Bist du es nicht, dann fahr doch zur alten Wohnung und lass dir die Beseitigung des Schadens zeigen.

Dein Kommentar beschreibt nicht exakt den Vorgang. Der Vermieter hält die Kaution (dein Eigentum) treuhänderisch und kann sich bei Schäden und Mängeln aus der Kaution bedienen, wenn du der Verursacher bist und innerhalb einer Frist nicht Abhilfe geschaffen hast. Daher musst du nichts "abtreten". Unabhängig davon ist der Vermieter verpflichtet über die Kaution abzurechnen, wenn er daraus Zahlungen an sich vornimmt. Der Vermieter hat bis zu 6 Monaten das Recht Schäden auf deine Kosten beseitigen zu lassen. Danach kann er  eventuell Kautionsteile zur Besicherung der BK-Abrechnung einbehalten aber  nicht einziehen. 

Er muss eine Kautionsabrechnung durchführen, d.h. alle angefallenen Kosten mit der Kaution verrechnen.

Hat er keinen Nachweis über erledigte Arbeiten, kann er diese Kosten nicht geltend machen.

Falls er die Arbeiten nicht ausgeführt hat, was kann ich tun?

Die Kaution zurückfordern.

An hand von Kostenvoranschlägen kann kein Abzug von der Kaution vorgenommen werden. Es muss der tatsächliche Aufwand nachgewiesen werden. Binnen 6 Monaten ab Rückgabe muss das gelaufen sein, ansonsten ist der Anspruch auf Schadenersatz verjährt. Die Vorlage von Kostenvoranschlägen hemmt die Verjährung nicht.