Kann ich mich beim Einwohnermeldeamt auch ohne Mietvertrag anmelden?

Selbstverständlich und das musst Du sogar, wenn Du nur irgendwo fest einziehst, auch wenn Du keine Miete zahlen musst. Zum Beispiel Einzug bei der Freundin.

Genauso natürlich auch, wenn Du Dir eine eigene Wohnung kaufst, in die Du selbst einziehst. Auch hierfür hättest Du keinen Mietvertrag.

Von Bedeutung ist natürlich die Wohnungsgeberbescheinigung, aber auch die ist unabhängig vom Mietvertrag. Der Eigentümer der Wohnung oder aber der aktuelle Besitzer (Hauptmieter), können bzw. müssen sogar diese Bescheinigung ausfüllen und unterschreiben, damit Du sie einreichen kannst.

Würde sich jetzt der Wohnungsgeber weigern, weil es keinen schriftlichen Mietvertrag gibt, könntest Du das beim Einwohnermeldeamt vorbringen und dann würde man ihn fragen, weshalb er sich weigert. Ggf. würde er mit einem Bußgeld zur Verantwortung gezogen.

Einen Mietvertrag brauchst du nicht, aber einen Wohnungsgeber. Das ist im Normalfall dein Vermieter, der Wohnungsgeber muss ein entsprechendes Formular unterschreiben.

Ob der meldepflichtige Bürger einen Mietvertrag hat oder nicht ist völlig unwichtig.

Zur Ummeldung wird seit November 2015 die Wohnungsgeberbestätigung benötigt.

einen Mietvertrag brauchst du nicht, nur eine Meldeadresse

ja. Du musst zwischenzeitlich sowieso eine Wohnungsgeberbescheinigung mitbringen.