In wieweit muß man als Bevollmächtigter Rechenschaft über das Geld ablegen, dass man für jemand anderen abhebt?

Wem gegenüber denn?

Wenn du monatlich 1000 - 2000 € abhebst nur für Lebensmittel bzw. hin und wieder die Enkel etwas bekommen, dann würde ich schon Rechenschaft verlangen, wenn ich zum engeren Familienkreis gehöre z. B. ein Geschwisterteil von dir wäre.

Das wäre m. E. schon zuviel, auch wenn sie deine Bereitschaft für sie, honoriert!

Ich würde vorsichtshalber ein schreiben der Mutter mit Unterschrift mit mir rumführen

Musst du nicht, aber die Bank kann zurecht mal nachfragen ob das denn "mit rechten Dingen zugeht" ;) Sei da nicht böse wenn da eine nachfrage kommt, die denken da auch nur an die Kunden und wenn die Mitarbeiter deine Mutter zB kennen und sich wundern dass nicht mehr sie kommt dann fragen sie sicherheitshalber mal nach. Dein Handeln in allen Ehren aber es gibt leider genug die den dementen Eltern das Konto "leer räumen"

 Amtl. bestellte betreuer müssen dies tun.

Du als privatperson solltest das auch machen, zu deiner eigenen Sicherheit.

Spätestens wenn es ans Erben geht kommen die zweifel: wo ist das Geld hin wollen die Miterben wissen.

Wie willst du nach 2 oder 5 oder gar 10 Jahren ohne Buchführung belegen und beweisen was mit dem Geld gemacht wurde.?

Da ist ärger vorprogrammiert

Na klar musst du alles Aufschreiben,was du Abhebst und Ausgibst.Ist doch nicht dein Geld.Ich will dir jetzt nichts Unterstellen,aber es gibt genug Fälle wo eben Bevollmächtigte in die eigene Tasche Gewirtschaftet haben.Sie kann ja auch mal in ein Pflegeheim kommen und dann brauchst du einen Nachweis wo das Geld hin ist,wenn zB die Rente nicht reicht.