Freundin zieht ein, Mieter erhöht die Nebenkosten um 400%. Ist das rechtens?

Hier geht es nur um die Erhöhung der Betriebskosten, nicht der Kaltmiete. Die bleibt ja bei 450 €.

Der Vermieter darf die Betriebskosten erst nach einer Abrechnung erhöhen wenn diese eine Nachzahlung ergibt. Und das nicht willkürlich, sondern angemessen.

Heißt, Nachzahlungsbetrag : 12 + vorherige Vorauszahlung = neue Vorauszahlung

Es sind doch monatliche Vorauszahlungen für Betriebskosten vereinbart?

Nun hören sich 40 € BK sehr wenig an. Was ist denn alles darin enthalten und wie groß ist die Wohnung?

Im Schnitt betragen die monatlichen BK inkl. Heizkosten etwa 2 - 3 € pro m² Wohnfläche.

Du schreibst in einem Kommentar:

Ich muss aber auch dazu sagen, dass ich mit ein Nachzahlung von ca. 100 - 150€ im Jahr zu rechnen hatte. Womit ich auf ca. 52,50€ reelle
Nebenkosten pro Monat komme.

Dann vermute ich mal das keine Heizenergiekosten dabei sind und die Wohnung nicht größer als 50 m² ist. In dem Fall wäre eine Erhöhung der BK auf 200 € monatlich utopisch.

Der Vermieter darf die Nebenkosten erst ein Jahr nach dem Einzug und
der darauf folgenden Nebenkostenabrechnung entsprechend anpassen.

Falsch. Nach der Abrechnung. Das kann auch schon wenige Monate nach Einzug/Mietbeginn sein.

Angenommen Mietbeginn ist im Januar 2017, der Abrechnungszeitraum geht vom 01.02.2016 - 31.01.2017 des Folgejahres, dann kann es sein das die Abrechnung im Juni 2017 zugestellt wird. Bei einer Erhöhung der Vorauszahlungen wäre diese dann ab September 2017 zu zahlen.

Nein, das ist nicht rechtens. Die Verfahrensweise lt. Gesetz (BGB) ist vom Gesetzgeber  so vorgegeben: Die Anpassung vereinbarter Vorauszahlungen für Betriebskosten ist nach inhaltlich und formell korrekter Abrechnung ab übernächstem Monat nach Erhalt der Abrechnung für die Zukunft zulässig.

Also: Ergibt die korrekte Abrechnung eine Nachzahlung, so darf die monatliche Vorauszahlung um 1/12 des Nachzahlungsbetrages erhöht werden.

Solltest du möglicherweise aber eine monatlich zu zahlende Pauschale für Hausnebenkosten vereinbart haben, dürfte diese nur angepasst werden, wenn das so im Mietvertrag vereinbart wäre. Da gibt es auch keine Abrechnung.

Vielleicht hat der Vermieter im Zusammenhang mit dem Einzug deiner Freundin die Gelegenheit ergriffen, die Nebenkostenzahlung auf ein normales Niveau anzuheben. 40 Euro sind sehr wenig, wenn ich mir die abrechnungsfähigen Kosten vor Augen rufe.

Dazu kommt die Frage, wie Strom und Heizkosten bei dir erfasst werden. Da du selbst schreibst, daß du bislang immer Nachzahlungen hattest, ist eine Anpassung nach oben sowieso eher sinnig, als unsinnig.

Wenn du es genau wissen möchtest, ruf deinen Vermieter einfach mal an.

Wenns tatsächlich reine NK sein sollen, bekommst du eine Abrechnung darüber . Danach wird sich zeigen obs Geld zurück gibt oder halt nicht.

Persönlich halte es nicht für überzogen aber überraschend das du nur 40€ zahlst..

Deine Rechenart ist einfach nur falsch: Dein Vermieter hat ja nicht nur die Nebenkosten erhöht, sondern verlangt - wie absolut üblich - auch mehr für die Wohnung an sich (also quasi mehr Kaltmiete), weil diese sich ja auch mehr abwohnt/abnutzt, als wenn man alleine darin wohnt.

Also die von Dir genannte Mieterhöhung ist eine in einem ganz üblichen Rahmen und in keinster Weise ungewöhnlich oder gar unverschämt.