darf ich zwei nägel in die Innenseite der Haustüre hauen um was anzuhängen?

Nein, das darfst Du NICHT einfach so:

Die Wohnungseingangstür ist je nach Bundesland auf Basis der Musterbauordnung (MBO) - mitunter eine Brandschutztür. Nägel können da den Aufbau stören und die Tür verliert die Bauartzulassung.

Das wir u.U. deswegen interessant, da die WE-Tür innenseitig nach gängiger Rechtsauffassung zwar zur Mieteinheit gehört, die Tür an sich aber Gemeinschaftseigentum ist. In einem solchen Fall hilft Dir auch die Zustimmung des Vermieters nicht - er darf diese im Zweifel gar nicht geben.

Ob es eine Brandschutztür ist, kannst Du selber nachprüfen:

1. Schau in die Landesbauordnung Deines Bundeslandes, ob eine Brandschutztür als Wohnungsabschlusstür gefordert wird.
2. Am Türblatt seitlich auf der Seite der Scharniere ist eine kleine längliche Plakette. Steht dort "EI 30" oder "T30", dann ist es eine Brandschutztür.

Und falls doch zulässig, sind diese Nagelspuren vor dem Auszug wieder zu entfernen (nicht wie in einer Wand).

Wenn es ein Haus ist, das mehrere Parteien bewohnen und Du ein Mieter bist, wird das nicht in Ordnung gehen.

Bist Du hingegen der einzige Mieter und es gibt auch keine weiteren Wohnungen oder Du bist der Eigentümer, dann darfst Du das.

Als Mieter musst Du die Türe beim Auszug wieder so übergeben, wie sie beim Einzug erhalten war - übliche Abnutzung ausgenommen. Dazu zählen Nägel definitiv nicht.

Nein, nicht ohne Erlaubnis des Vermieters (am besten schriftlich).

Da die Tür dadurch beschädigt wird, kann der Vermieter die Reparatur verlangen. Da das nicht unbedingt möglich ist, kann es sein, dass man die komplette Tür ersetzen muss. Ein teurer Spaß.

Verwende doch besser Alternativen zum kleben oder klemmen.

Es gibt Haken die oben über die Türe gelegt werden. KODi oder Baumarkt. Die Türe beschädigen darfst du nicht

ich weiß nicht ob du das darfst, frag doch einmal deine Mutter, die wird das schon wissen.

Sei nicht böse, aber das ist nunmal das einzige, was mir dabei einfällt. Entschuldige.