Darf der EX Lebenspartner ohne meine Erlaubnis die Abmeldung beim EW durchführen?

Nein. Das geht aus mehreren Gründen nicht:

1.  für die Ummeldung/Abmeldung einer anderen Person braucht man dessen Vollmacht
2. für die Ummeldung/Abmeldung benötigt man den Ausweis derjenigen Person, da die Adresse darauf geändert werden muss
3. die einfache Abmeldung eines Wohnistzes ist nicht möglich, erst durch die Anmeldung eines anderen Wohnsitzes, wird der alte Wohnsitz abgemeldet
4. eine Meldung ohne festen Wohnsitz oder ähnlichem ist nicht möglich, da man dafür erstens eine Wohnungsgeberbescheinigung des Vermieters benötigt, dass man ausgezogen ist, und zweitens da du ja dort tatsächlich noch wohnst
5. die Melderegister werden nicht danach geführt, ob man irgendwo wohnen darf oder nicht, sondern ob man dort tatsächlich wohnt oder nicht
6. kommt eine Abmeldung nach unbekannt auch nicht in Frage, da dein Aufenthaltsort ja bekannt ist

Selbst wenn er dich abmeldet, kannst du einfach zum Meldeamt gehen, und dies rückgängig machen und dich ganz normal ummelden wenn du eine neue Wohnung gefunden hast.

Nein kann er nicht. Er muss dich kündigen und du hast dann 3 Monate Zeit. Sollte aber auch in deinem Interesse liegen möglichst schnell auszuziehen. Die Miete musst du für die 3 Monate natürlich weiterhin bezahlen.

Ich finde es ja befremdlich dass Du offenbar gedenkst noch länger mit ihm zu leben nach der Trennung.

Du hast als Partnerin bei ihm gelebt. Nur weil Du die Hälfte der Mietkosten übernommen hast ist das kein Untermietvertrag.

Also mal ehrlich - wie lange "suchst" Du denn schon seit der Trennung nach einer Wohnung? Kann man da nicht zumindest mal übergangsweise zu einer Freundin oder Verwandten ziehen bis man etwas gefunden hat?

Wie würdest Du es denn finden, wenn er mal jemand mitbringen will nach Hause?

Dein Ex bräuchte auch deinen Personalausweis, um dich abzumelden. Das geht schon einmal nicht.