Über das Finanzamt kann dein Chef diese Nebentätigkeit nicht erfahren. Das Finanzamt gibt keine Auskunft darüber, welche Einkommen die Bürger in ihrer privaten Steuererklärung angeben.
Es gibt zwar Länder, in denen jeder Bürger die Steuerunterlagen eines anderen einsehen kann, aber bei uns in Deutschland ist es nicht so.
Solltest du noch einen weiteren Minijob haben, so wird der Arbeitgeber des anderen Minijobs angeschrieben und gefragt, was du dort verdienst. So erfährt der eine Arbeitgeber von einem anderen, wenn eine Anmeldung im gleichen Zeitraum vorliegt.
Aber sonst .... erfährt niemand etwas von dem Minijob.