Wie schreibe ich eine Erklärung für eine Behördliche Namensänderung?

Für einen Antrag auf Namensänderung braucht man keine "Erklärung"! Was die Frau im Ordnungsamt wollte, ist deine Begründung für die Namensänderung, damit sie diese nicht selbst in dem formellen Antrag formulieren muss. Es genügt also, wenn du folgenden Text verfasst:

Begründung für meinen Antrag auf Familiennamensänderung:

Nun musst du ausführlich begründen, weshalb es für dich persönlich wichtig ist, einen neuen Familiennamen zu bekommen. (Beispiel: Durch die Transliteration aus dem kyrillischen Alphabet sind die ersten "Verunstaltungen" entstanden, dann nochmals infolge "Übersetzung" aus der englischen Sprache.) Hast du mit dem Namen Probleme bei der Angabe deiner Personalien (ständig buchstabieren)? Welchen neuen Namen hast du gewählt und warum? (Keine "Sammelnamen" wie Müller, Meier, Schulz, Schmidt o. ä.!)  

Wichtig dabei ist, dass deine Probleme mit dem Namen auch bei objektiver Betrachtung nachvollziehbar sind, also nicht ausschließlich deinem besseren persönlichen Erscheinungsbild dienen. Es gilt nämlich der Grundsatz, dass das öffentliche Interesse an der Beibehaltung des bisherigen Namens gegenüber deinen berechtigten persönlichen Belangen zurücktreten muss.

Für diese "Erklärung" brauchst du keine Anrede, sondern die gibst du persönlich bei der Sachbearbeiterin im Ordnungsamt ab, die dann deinen Namensänderungsantrag auf einem Formblatt aufnimmt. Sie wird dir danach erklären, welche Dokumente sie zu diesem Antrag evtl. noch benötigt (z. B. Geburtsurkunde, Heiratsurkunde, Übersetzungen, polizeiliches Führungszeugnis, Meldebestätigung, Nachweis der deutschen Staatsangehörigkeit).

Der Familienname steht nicht zur freien Disposition. Du kannst nicht einfach so deinen Familiennamen ändern... Du musst bestimmte Voraussetzungen erfüllen, damit dies möglich ist, wie zum Beispiel bei lächerlich klingenden Namen, die oft zu Wortspielen verleitet werden, bei Sammelnamen usw. Die Änderung eines Familiennamens stellt größere Hürden, als die eines Vornamens.
Du hast überhaupt geringere Chancen, dass die Namensänderungsbehörde dies zulässt.