Was ist ein Vertretungsberechtigter Geschäftsführer?

Im ersten Fall handelt es sich um keine Gesellschaft. Der Herr Möller betreibt dieses Gewerbe persönlich und haftet demzufolge auch mit seinem Privatvermögen. Die Bezeichnung "Geschäftsführer" ist hier frei wählbar. So hätte er sich auch Präsident nennen können. Die Bezeichnung "vertretungsberechtiger Geschäftsführer" macht sowieso keinen Sinn, da ein Geschäftsführer immer vertretungsberechtigt ist.

Im zweiten Beispiel handelt es sich um eine GmbH. Diese hat Gesellschafter, die im Grundsatz nicht vertretungsberechtigt sind. In diesem Fall sind aber zumindest die beiden genannten Personen gleichzeitig noch Geschäftsführer und damit vertretungsberechtigte Gesellschafter.

Rapper Kollegah sagt er ist der Eigentümer also die Firma gehört ihm kann das stimmen?)

Eine GmbH hat keine Eigentümer. Natürlich hat ein Gesellschafter, der die Mehrheit der Anteile hält, sozusagen das Sagen, weil er die Linie der Gesellschaft bestimmen kann, aber die Anteile sind aus der Aufstellung nicht ersichtlich. Es könnte also schon sein, dass er die Mehrheit hält. Für weitere Informationen kannst du die Gesellschafterliste einsehen.

Bei der German eTrade GmbH wäre es ja möglich, dass diesem Rapper 100 % der Anteile gehören. Wenn ich es wissen wollte, könnte ich mir für 4,50 Euro die Liste der Gesellschafter aus dem Registerportal runterladen. Aber selbst dann wüsste man es nicht endgültig, weil er ja einen Treuhänder dazwischen haben könnte, oder eine ausländische Holding, die die Anteile für ihn hält.

Aus dem Impressum weiß man eben nur, wer die Geschäftsführer sind.

Bild 1 ist ein Einzelunternehmen. Es "gehört" Herrn Möller und er führt das Geschäft auch selbst.

Bild 2 ist eine GmbH. Die GmbH gehört den Gesellschaftern und die sind allenfalls aus dem Handelsregister ersichtlich. Die angegebenen Personen können (Mit-)Eigentümer sein; müssen aber nicht.