Türknauf an Eingangstür - ist das versicherungstechnisch in Ordnung?

Versicherungstechnisch ist das absolut in Ordnung. Wer keinen Türknauf aussen hat, muss eben mindestens einmal den Schlüssel rumdrehen, auch wenn er in der Wohnung ist.

Es gibt Leute, die haben einen Türknauf und ziehen einfach die Wohnung zu, wenn sie sie verlassen. Das ist dann im Endeffekt auch nichts anderes als eine Klinke aussen mit unabgesperrter Tür. Wohnungseinbrecher sind auf das eingestellt, nehmen eine Scheckkarte und ziehen sie einfach kurz  nach unten. Für sie macht es keinen Unterschied, ob die Tür einen Knauf hat oder eine Klinke. Entweder sie ist abgesperrt (Schlüssel am besten 2x rum) oder sie ist offen. Das sehen auch die Versicherungen so.

Du kannst ihn fragen - aber nicht auffordern.

Es liegt in Deinem Ermessen, ob Du eine neue Drückergarnitur anbringen willst, damit Du Dich "sicherer" fühlst - an den Kosten muss er sich nicht beteiligen, denn Du hast die Wohnung so gemietet.

Die Tür bzw. Garnitur war so als Du die Wohnung gemietet hast. Folglich kein Anspruch auf etwas anderes. Außer der Vermieter hast das, was ich stark bezweifel, vertraglich zugesichert.

Kauf Dir im Baumarkt eine Garnitur mit Knauf, tausch diese gegen die vorhandene und gut ist.

Die Originale bei Mietende aber wieder zurück tauschen.

zu jeder Tür sollte es einen Schlüssel geben, das war bei Einzug vorhanden, eine Drückergarnitur kostet nicht die Welt; Auswechseln und das Alte bei Auszug wieder einbauen.

Kauf dir doch einen Türbeschlag auf dem Flohmarkt. Ist Billiger als neu.