Schriftliche Genehmigung erforderlich für terrasse?

Hm, Gewohnheitsrecht ist immer etwas schwierig zu argumentieren und kann ggf. auch gekündigt werden. Entscheidend und erfolgversprechender ist auf jeden Fall was im Mietvertrag zur Gartennutzung steht. Wenn eine Klausel á la "Zum Gebrauch der Mietsache gehört die gemeinschaftkiche Nutzung des Gartens..." steht und der Schuppen von allen Mietern z.B. als Lager für Gartengeräte, Spielzeug etc verwendet wird würde ich mich erstmal drauf zurückziehen das die Nutzung des Schuppens Teil der Gartennutzung ist und quasi da gleich mitvermietet wurde. Nach BGB (§94) sind drauf stehende Gebäude, also auch der Schuppen, in der Regel wesentliche Bestandteile des Grundstücks, also hier des Gartens. Wird euch also das Gartengrundstück ohne ausdrücklichen Vorbehalt, dass der Schuppen von der Nutzung ausgenommen ist zum Gebrauch überlassen gilt der Schuppen als Bestandteil als mitüberlassen. Dann gilt das selbe wie für die Gartennutzung, nämlich dass diese Nutzung nicht (ohne sehr guten Grund wie z.B. Gefährdung der Verkehssicherheit wegen Einsturzgefahr) untersagt werden könnte da eine gesonderte Kündigung in der Regel nicht geht. Selbst wenn man sich nun versteigen möchte und "Eigenbedarf" des Vermieters am Schuppen annehmen will und darus ein Sonderkündigungsrecht für den Schuppen konstruiert wäre das höchstens denkbar wen dieser den Schuppen z.B. für seinen Rasenmäher komplett braucht, nicht wenn er ihn abreißen will.

Aber wenn ihr um so viele Einzelheiten streitet lohnt es sich vermutlich das ganze mal z.B. über einen Mieterverein einem Anwalt vorzulegen. Oder ihr legt als betroffene Parteien zusammen und geht mal zu ner Erstberatung, das kostet nicht die Welt. Wirklich weiterhelfen kann man euch da nur wenn man den kompletten Sachverhalt aufschlüsselt, die jeweiligen Argumente kennt und vor allem den Mietvertrag mal genauer unter die Lupe nimmt.

Eine ebenerdige Holzterrasse sollte, wenn die Abstandsflächen eingehalten sind grundsätzlich genehmigungsfrei sein.  Genau kann dir das aber nur euer örtliches Bauamt sagen die das konkrete Objekt beurteilen können und eben die bei euch geltenden Vorschriften zu Grunde legen können. Die gehen von Bundesland zu Bundesland ganz schön auseinander.

Insofern ist es schwer zu beurteilen ob es tatsächlich ein "Schwarzbau" ist. wenn ja kann die Baurechtsbehörde grundsätzlich dagegen vorgehen, auch nach 11 Jahren noch. Allerdings kann diesen Abriss wegen fehlernder Baugenehmigung tatsächlich nur die Behörde verfügen und nicht dein Vermieter.

Bei deinem vermieter würde ich zunächst mal die Frage stellen, auf welcher Grundlage dort nun gebaut werden soll. Wenn der Garten mitvermietet ist, ist die Nutzung Teil des Mietvertrags. Wenn es dazu keinen Vorbehalt im vertrag gibt kann der Vermieter euch nicht einfach die als teil des Vertrags festgelegte Nutzung einseitig untersagen bzw. entziehen indem der Garten bebaut wird.

Isoliert gekündigt werden kann die Gartennutzung in der Regel nicht.

Wenn der Vermieter seinerzeit die Errichtung der Terrasse als Nutzung genehmigt hat kann er dies nun eigentlich nicht rückgängig machen (zumal die Terrasse ggf. von ihm garnicht zwingend genehmigt werden muss, Mieter dürfen den mitvermieteten Garten weitgehend selbst gestalten und müssen nur beim Auszug rückbauen).  Letztlich bietet es nsich immer an sowas zu verschriftlichen, wenn das nicht erfolgt ist sollte aber trotzdem der Vermieter erstmal darlegen auf welcher Grundlage er glaubt den Garten nun bebauen zu dürfen.