Reicht die Geburtsurkunde, um einen Mietvertrag zu unterschreiben?

Nein. Diese Urkunde sagt nichts über Deinen momentanen Aufenthaltsort aus.

Ich würde niemanden einziehen lassen, der sich nicht ausweisen kann.

Auf der Geburtsurkunde ist kein Lichtbild und keine Angaben zur Person außer der Name. Du kannst also beinahe eine beliebige Geburtsurkunde vorlegen. Ohne dass der Vermieter es prüfen könnte. Daher würde ich das als Vermieter auf keinen Fall akzeptieren. Personalausweis oder Reisepass sind notwendig.

Aus naheliegenden Gründen enthält eine Geburtsurkunde kein Foto der darin erwähnten Person, und deshalb ist sie als Nachweis der Identität nicht geeignet. Da du keinen Pass besitzt,solltest du aber wenigstens einen Personalausweise besitzen, vielleicht reicht dem Vermieter aber auch ein Führerschein aus.

Normalerweise nicht. Normalerweise brauchst Du mindestens einen Personalausweis (gültig) und Deine letzten drei Gehaltsnachweise und eine aktuelle Schufa-Auskunft.

Sollte Dein Vermieter sich darauf einlassen, bin ich gespannt, was für eine Bruchbude der Dir andreht...

Da in deiner Geburtsurkunde mit hoher Wahrscheinlichkeit kein aktuelles Foto klebt, ist sie als Ausweisdokument wertlos.