Öffentliche Verwaltung von einem Bundesland in ein anderes?

Wenn Du Landesbeamter bist, bleibst Du das auch. Ein Länderwechsel ist möglich, wenn Du einen absolut gleichwertigen Tauschpartner hast.

Du kannst als Landesbeamter durchaus das Bundesland wechseln, dafür ist es aber erforderlich, dass es einen gleichwertigen Tauschpartner gibt, d.h. er besetzt die Stelle, die du haben willst, und du aktuell die Stelle, die er möchte.

Der Wechsel vom Landesbeamten zum Bundesbeamten ist ebenfalls möglich, ist aber kein hocharbeiten. Dafür musst du dich dann auf Stellenanzeigen für externe Bewerber bewerben, wenn du die Voraussetzungen erfüllst (bspw. Laufbahnbefähigung für den gehobenen nichttechnischen Verwaltungsdienst, wenn du dich für eine Sachbearbeiterstelle nach A10 beim KBA interessierst), und das anschließende Auswahlverfahren durchlaufen.

Mein Vater hat den Wechsel umgekehrt gemacht, heißt vom Bund zum Land gewechselt. Er war im mittleren Dienst beim Auswärtigen Amt und ist hinterher zur Bezirksregierung gewechselt.

Dann musst du dich eben in den neuen Bundesland bewerben und hoffen, dass man dich einstellt

Ist es dann noch möglich sich eventuell auf Bundesebene hochzuarbeiten oder bleibt man quasi immer in diesem Bundesland ?

Das ist kein hocharbeiten, sondern der Bund ist schlicht ein anderer Dienstherr, der nicht höherwertig als ein Bundesland ist. Der Wechsel des Dienstherrns ist in manchen Ressorts möglich, aber eher die Ausnahme. Du bist Landesbeamter, wieso sollte das Land dich hergeben?

also bleibt das Bundesland mein Arbeitgeber oder kann es auch der staat werden?

Das Bundesland ist der Staat. Wir leben in einem föderalen Staat.