Muss sich der Vermieter um meine Beschädigte Tür kümmern?

Der Gesetzgeber hat festgeschrieben (BGB), dass ein Vermieter seinem Mieter die Mietsache in einem zum vertragsgemäßen Gebrauch geeigneten Zustand zu übergeben (und während der Mietzeit zu erhalten) hat.

In deinem Fall ist das nicht erfolgt. Die Tür in diesem Zustand ist nicht vertragsgemäß. Du hast die Vermieterin zum Mietbeginn darauf aufmerksam gemacht, sie meint, die Tür sei mangelfrei. Das ist sie aber objektiv nicht. Auf dessen Beseitigung hast du unverjährbar Anspruch.

Deshalb: Nochmals schriftlich per Einwurfeinschreiben die Vermieterin dazu auffordern, mit einer gesetzten Frist von drei Wochen, den Mangel zu beheben. Kündige dabei mit an, dass du bei Verzug selbst einen Tischler beauftragen und dessen Kosten ab übernächstem Monat mit der Miete aufrechnen wirst.

Einen Rechtsanspruch auf Ausbesserung hast Du nicht, solange die Tür funktionsfähig ist. Es gilt: Gemietet wie besehen.

Ich würde sagen die Tür bietet nicht die Sicherheit die sie bieten muss. Der Vermieter hat die Mietsache in Ordnung zu bringen wenn Du die Beschädigung nicht zu vertreten hast. Meiner Meinung nach ist so ein Mangel erheblich.

Rede mit dem Vermieter und bestehe auf Mangelbeseitigung. Wenn er stur bleibt stelle schriftlich (Einschreiben) eine Frist (2 Wochen). Und stelle Mietminderung in Aussicht wenn die Frist verstreicht.

Warte nicht zu lange damit.

Das hast du doch alles schon bei der Besichtigung der Wohnung gesehen. So wie du das beschreibst, dürftest du das nicht übersehen haben. Jetzt hast du die Wohnung so gemietet und hast kein Recht auf Beseitigung solange die Tür ihrer Funktion nachkommt.

... aber die Tür gehört doch gar nicht Dir, sie wurde zudem so angemietet, so jedenfalls die Frage.

Schaue also in die Urkunde, was Du dort in dieser Sache vereinbart hast. Wurde wirklich eine Eisenwohnungseingangstür angemietet, denn Holz kann ja nicht verbiegen.