Muss meine Mutter Zweitwohnungssteuer zahlen?

Da die Mutter die Wohnung nicht selbst bezieht, braucht keine Steuer entrichtet werden, da es sich um keinen zweiten Wohnsitz im Sinne des Gesetzes zur Zweitwohnsteuer handelt, da Du ja der offizielle dauerhafte Nutzer der Wohnung bist.

Es handelt sich um einen Vertrag zugunsten Dritter.

Man macht sowas in der Regel über eine Mietbürgschaft. Das heißt, dass zwar nur du im Vertrag stehst, deine Mutter aber für dich bürgt, und zugesteht, die Miete zu zahlen, wenn du es nicht tun solltest. Wird alles vertraglich festgehalten und dann hat man keine Probleme damit.