Muss der Vermieter den Autoschaden zahlen?

Ich vermute die Sachlage ist zu diffizil, als dass Du hier eine erschöpfende und verlässliche Antwort erhalten wirst. Wende Dich am besten an einen Mieterverein in deiner Nähe, die können Dir sachkundig helfen und dich beim Schriftverkehr unterstützen.

Ins Blaue hinein würde ich sagen: sofern der Stellplatz als solcher kostenpflichtig ausgewiesen mitvermietet wurde: ja. 

Solltest Du deinen Wagen nur mit Einverständnis auf dem Grundstück des Vermieters abstellen dürfen: nein.

Aber wie gesagt: Frag die Spezialisten ;-)

Hast du den Vermieter schriftlich verständigt (Einschreiben/Rückschein)?

Wenn du Rechtsschutz hast, dann gehe zu einem Anwalt, der soll die Sache für dich regeln.

Gleich in die Werkstatt gehen und die Rechnung an den Vermieter schicken, ist ein Risiko.

Schon mal das Schild gelesen:

Betreten auf eigene Gefahr

Da kann man hier schreiben:

Befahren auf eigene Gefahr.

Du wüsstest von dem Zustand des Parkplatzes und entweder man fährt sehr vorsichtig oder besser noch gar nicht auf diesen Platz.

Ich bin ( bedingt durch "meine Baustellen") schon über die unmöglichsten Zufahrten und Bauwege gefahren. Dass sich so eine Platte senkrecht stellt, habe ich noch nie erlebt. Das wäre nur möglich, wenn so eine Platte regelrecht eingebrochen ist, also auf einer Seite 20 cm eingesackt und auf der anderen Seite entsprechend hochgekommen ist.

Ich unterstelle dir mal, dass du zu schnell drüber gefahren bist, mit Schrittgeschwindigkeit wäre das nicht passiert. Aus diesem Grund stehen deine Chancen nicht gut. (Meine Meinung!!!)

Hast du die Instandsetzung des Stellplatzes schriftlich angemahnt im letzten Jahr? Ansonsten wirst du nichts bekommen. Du hast ja um das Risiko gewusst und nichts unternommen usw.