Kann man in einer Mietwohnung den Terrassen Boden ersetzen?

Es ist das Eigentum des Vermieters, natürlich brauchst du die Erlaubnis.

Kosten sollte eigentlich der Vermieter tragen, hängt aber auch wirklich vom Zustand der Terrasse ab und ob man sie so noch nutzen kann

Nein, das dürft ihr nicht ohne Rücksprache mit dem Vermieter machen. Es handelt sich um eine Instandhaltung und diese wäre vom Vermieter zu bezahlen. Jedoch könnt ihr ihn nicht zwingen, die Maßnahme durchzuführen. Aber vielleicht findet sich im Gespräch eine Lösung, wenn ihr euch an den Kosten beteiligen wollt, oder auch anbietet, die Arbeit selbst zu machen, sodass nur das Material anfällt.

Nein, definitiv nicht, denn die Terrasse befindet sich ganz sicher nicht in der Wohnung, sondern davor.

Wenn es aber um den Boden der Terrasse vor der Wohnung geht, müßt ihr das Einverständnis des Vermieters einholen und genau mit ihm absprechen, bzw. am besten sogar schriftlich regeln,

wer die Kosten trägt

was nach Eurem Auszug passieren soll (evtl. Rückbau)

ob ihr den vorhandenen Boden entfernen könnt oder nur etwas drüber legen dürft

und welche Art von neuem Belag ggf verlegt werden darf

Dabei auch den Unterbau nicht außer Acht lassen.

Ohne schriftliche Vereinbarung kann es am Ende ein böses Erwachen geben.

Frag deinen Vermieter. Villeicht wird ER das übernehmen, Villeicht wird er euchdas nur Erlauben und Villeicht Sagt er: Nein! DU musst ihn aber anschreiben.

Bauliche Änderungen und Ausbesserungen sind Sache des Eigentümers. Man sollte sich mindestens sein schriftliches, eindeutiges Einverständnis einholen, wenn man es denn unbedingt selber machen will.