Darf man Gegenstände auf der Straße/Bürgersteig, mit einem Schild 'Zu verschenken' auslegen?

Nein, aber im Vorgarten auf dem eigenen Grundstück darf man das. Ggf. den Vermieter fragen.

Dürfte man sowas auf die Straße legen, würden die Leute anfangen, auf ihren Müll/Sperrmüll solche Schilder zu kleben und wären fein raus.

In NRW gibt es ein Straßengesetz. In diesem ist geregelt wer was darf.

So spricht § 14 vom sog. Gemeingebrauch. Das bedeutet in etwa, dass die Allgemeinheit die Straße insoweit nutzen darf, wie sie gedacht ist. Also eine Fahrbahn zum Fahren, eine Spielstraße zum spielen und eine Fußgängerzone zum zu Fuß gehen.

Zusätzlich gibt es noch den Anliegergebrauch (§ 14a). Darin wird dem Anlieger - das ist derjenige, der ein Grundstück direkt an der Straße hat - erlaubt diese für die Nutzung seines Grundstückes mitzunutzen, sofern er dadurch den Verkehr nicht dauerhaft behindert. Ich bezweifle jedoch, dass es für die Nutzung des Grundstücks erforderlich ist eine Kiste mit zu verschenkenden Sachen auf den Bürgersteig zu stellen. Von der Vorschrift sind eher Situationen wie das Mülltonnen abstellen auf Bürgersteigen zur besseren Leerung durch die Müllabfuhr oder das Aufstellen eines Schildes "Blumenverkauf im Hinterhof" oder Ähnliches gemeint.

Jede andere Nutzung wäre demnach eine Sondernutzung (§ 18), für die eine Genehmigung der zuständigen Straßenbehörde vorliegen muss.

Vielleicht hat dir das ja weitergeholfen und du findest für dein Bundesland ein eigenes (ähnliches?) Straßengesetz.

Treffe oft Kartons mit 'Zu verschenken' auf Feiler o. ä. an. Kann mir nicht vorstellen, dass das verboten ist. Habe jedenfalls schon oft in die Kartons gesehen, während ein Polizeiauto vorbeifuhr. So lange damit der Verkehr nicht behindert wird, müsste das erlaubt sein.

Du darfst damit keinen behindern und es dürfen keine gefährlichen Güter sein. Sagen wird keiner was. Ist doch kein betteln und auch nicht kommerziell. Du musst dafür sorgen dass es nicht liegen bleibt und nicht zur Schutthalde verkommt. So denke ich wird niemand was dagegen haben.

Nein, man darf seinen Muell nicht auf dem Gehweg entsorgen.

Stell die Kiste auf dein Grundstueck (oder mit dessen Erlaubnis auf das deines Vermieters), dann ist es ok.