Vermieter zieht von schriftlicher Zusage zurück?

Guten Tag,

ich habe nach einer Besichtigung, einer unterschriebenen eingereichten Selbstauskunft und eindeutiger Klärung aller Einzelheiten, eine schriftliche Zusage für eine Mietwohnung per Mail von der Hausverwaltung erhalten. 

Einen Tag später kam die Nachricht, Sie hätten sich umentschieden.

Es waren alle Einzelheiten vorher besprochen, der Mietvertrag sollte lediglich als Fixierung der bereits schriftlichen Zusage unterschrieben werden soweit ich das verstehe.

Den Verlauf habe ich gespeichert und kann es somit beweisen.

Ist es vom Vermieter rechtens, die schriftliche Zusage zurück zu nehmen?

Der Einzugstermin wäre in weniger als 3 Wochen gewesen.

Mit freundlichen Grüßen