Zahlt die Arge 3 Monatsmieten Kaution?

Jobcenter würde maximal drei Netto-Kaltmieten (ohne Betriebskosten, ohne Heizkosten) übernehmen; ob als Bürgschaft oder in bar, ist vom Einzelfall abhängig; möglich ist beides.
Die halbe Miete wird mutmaßlich nicht übernommen werden.
Ein Darlehen wird dein Kollege mit monatlich 10% aus seiner Regelleistung tilgen müssen.
Voraussetzung des Ganzen: dein Kollege hat die Zustimmung des Jobcenters zum Umzug

Der Vermieter darf maximal 3 MM ohne Nebenkosten, also Kaltmieten, Kaution verlangen.

Was soll "und eine halbe Monatsmiete" heißen?

Ist der Umzug z. B. wegen Arbeitsaufnahme an einem anderen Ort oder weil die jetzige Wohnung zu groß und/oder zu teuer ist notwendig, zahlt m. W. n. die ARGE die Kaution.

Zieht der Kollege aber nur aus Lust und Laune um wird er die Kaution wohl selbst zahlen müssen oder wohnen bleiben wo er ist.

da ARGE, die seit 01.01.2011 JOBCENTER heißt zahlt lediglich eine Kaution in max. 3 MM auf Darlehenbasis, allerdings auch nur nach Einholung einer vorherigen Umzugsgenehmigung.

Kaution darf nicht mehr als 3 MM sein, ansonsten siehe unten.

Nein, sie macht eine Kautionszusicherung.

Das heisst, bei Auszug und entstandenen Schäden zahlt sie dann die Ansprüche gegenüber dem Vermieter.

Es ist also wie eine Bürgschaft.