Wohnungstür austauschen verboten?

Ja, Natürlich.

Die Tür ist sein Eigentum. Wenn sie dir nicht gefällt aber ihm such dir eine andere Wohnung

Dafür besteht kein Anspruch und du bdürftest hier bei der WET die Zustimmung des Vermieters. Die wird er berechtigt nicht geben.

U.U. käme hier eine Modernisierungsvereinbarung in Betracht, deren Kosten jährlich mit 8% umgelegt werden könnten. Darauf muss sich aber der Vermieter nicht einlassen.

Um es in Verbindung mit den anderen Kommentaren etwas komplizierter zu machen 😉:

1. Das BGH-Urteil, auf das sich teilweise hier bezogen wird, greift so weit, dass die WE-Tür nicht Sondereigentum ist sondern zum Gemeinschaftseigentum gehört. Insofern kann der Vermieter - soweit ihm nicht das ganze Hause gehört - nur mit Zustimmung der Eigentümergemeinschaft (ETG) etwas zulassen.
2. Noch interessanter wird es, da die Begründung des BGH, dass die Abgeschlossenheit der Wohnung nur durch die WE-Tür zustande kommt (deswegen Gemeinschaftseigentum, analog der Wand zum Treppenhaus) schlussfolgern lässt, dass Deine Tür sogar über die Instandsetzung auszutauschen wäre. Damit scheidet der Vermieter als Verantwortlicher ggfs. wieder aus (siehe Punkt 1).
3. Dazu kommt u.U. eine bauliche Auflage wie die zu erfüllende Rauchdichtigkeit oder auch Auflagen aus dem Denkmalschutz (soweit vorhanden), die Art und Form einer von Dir einzubauenden Tür vorgeben können. Das muss vorher geprüft werden.
4. Wenn nun die vorhandenen WE-Tür kein ausreichendes Schalldämmmaß nach DIN 4109 aufweist, müsste sogar der VM oder die ETG die Tür auf deren Kosten austauschen (und das war m.E. die Hauptfrage bei Dir). Auf der verlinkten Seite sind die wichtigsten Eigenschaften einer WE-Tür dargestellt: Wohnungseingangstüren | Türen-Wiki Wissen (deinetuer.de). Also einfach mal nachschauen, welche Qualität die Tür überhaupt aufweist. Mitunter ist da ein kleines Schild im Falz des Türblattes angebracht.
5. Von all dem abweichend könnte ein Bestandsschutz vorhanden sein (nicht bei Neubau); der wäre vergleichbar zu einem Denkmalschutz, nachdem die Tür so bleiben müsste - das ist aber eher unwahrscheinlich.
6. Ein Verweis auf §554 BGB ist deswegen nur bedingt richtig - was den Einbruchschutz betrifft. Es reicht nicht aus, dass Du Dich nicht sicher "fühlst". Die Kriterien für den Mindest-Einbruchschutz sind definiert => siehe Link oben.
7. Und wie Ploedder in seinem Kommentar ganz richtig schreibt, muss man das ganze Türelement betrachten und nicht nur das Türblatt, also z.B. mit Zarge.

und nur aus der Praxis: Wenn Du bei der Sicherheit über Kette oder Riegel nachdenkst: Im Brandfall behindern die Dich bei der Flucht. Ein Panikbeschlag ist auch kein Fehler (öffnet die Tür, selbst wenn Sie abgesperrt ist).

Du solltest Dich auf jeden Fall dazu beraten lassen - soweit die Genehmigung vorliegt und Du die Tür tatsächlich auf eigene Kosten austauschen willst. In diesem Fall und da der Eigentümer (oder die ETG) ja eine Werterhöhung seiner Immobilie hat, würde ich ihm eine Kostenbeteiligung vorschlagen oder zumindest vereinbaren, dass Du die alte Tür bei Auszug nicht wieder einbauen musst.

Du darfst Veränderungen nur mit Zustimmung des Vermieters vornehmen.

Du darfst die Tür austauschen, musst sie jedoch sachgerecht lagern und beim Auszug wieder einbauen. Auch sollte die Farbe der Tür den anderen Eingangstüren entsprechen. Der Vermieter muss keinen wilden Mix an Farben dulden. Wenn das alles nicht hilft, trete sie ein. Dann musst du zwangsläufig eine neue kaufen.