Wie kann ich das Sorgerecht abgeben?

Nein, das Sorgerecht muss immer jemand inne haben. Du kannst also einen Antrag bei Gericht stellen das das Sorgerecht auf eine andere Person oder auch einen amtlichen Vormund übertragen wird. Dann wird ein Richter entscheiden ob er dem zustimmt. Das Sorgerecht abzugeben heißt aber nicht keinerlei Verantwortung mehr zu haben. Du kannst durchaus weiterhin finanziell zur Kasse gebeten werden für Unterhalt zum Beispiel.

Das Sorgerecht kannst Du nur dann abgeben, wenn der andere Elternteil willig ist, das alleinige Sorgerecht zu übernehmen. Und das geht auch nur vor dem Familiengericht.

Du bist per Gesetz zur Erziehung und Fürsorge verpflichtet, da kannst Du Dich nicht einfach drücken.

Man kann das Sorgerecht weder abgeben, noch kann man beim Gericht beantragen, dass jemand anderes das Sorgerecht bekommen soll. Deshalb kannst Du auch keinen Antrag stellen, das Sorgerecht auf den anderen Elternteil zu übertragen. Denn es gibt, wie hier bereits von einigen richtig gesagt wurde, keine Möglichkeit, sich des Sorgerechts (dem ja auch eine Sorgepflicht entspricht) zu entledigen.

Falls der andere Elternteil bereits ist, die alleinige Sorge zu übernehmen, kann dieser Elternteil einen Antrag auf Übertragung der elterlichen Sorge auf sich selbst beantragen, und Du kannst dann diesem Antrag zustimmen. Alleine und von Dir aus kannst Du aber gar nichts machen.  

Ganz so einfach ist das natürlich nicht.

 Das muss schon handfest begründet werden.

Man kann seine Verantwortung nicht einfach an den Staat abgeben.

So...