Muss man bei der Bundesagentur für Arbeit bescheid sagen wenn man eine neue Arbeit hat.

Selbstverständlich musst Du eine Arbeitsaufnahme dort SOFORT mitteilen - bevor die Arbeit beginnt.

Sonst droht ein Strafverfahren wegen Erschleichen von Sozialleistungen.

Natürlich musst Du Bescheid geben, Du bist dann nicht mehr arbeitslos und bekommst dann auch vom Arbeitsamt kein Geld mehr.

Ja solltest Du. Sicher ist sicher, denn sonst kriegst Du weiter Arbeitslosengeld und wenn die das rauskriegen, dass Du unberechtigt Geld bekommst, musst Du das alles zurückzahlen. 

Musst dich dort arbeitslos melden und erneut melden, wenn du eine neue Arbeit beginnst.

(1) Wer Sozialleistungen beantragt oder erhält, hat

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2. Änderungen in den Verhältnissen, die für die Leistung erheblich sind oder über die im Zusammenhang mit der Leistung Erklärungen abgegeben worden sind, unverzüglich mitzuteilen,

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Du hast sogar eine Rechtspflicht zu handeln .. wenn Du es nicht tust, wird der Leistungsträger Strafanzeige wegen Betrugs durch Unterlassen (fehelnde Mitteilung der Arbeitsaufnahme) erstatten ...