Kann Firma meinen Browserverlauf sehen über die VPN?

Es kommt darauf an, wie das VPN konfiguriert ist. Häufig ist es so, dass der komplette Netzwerkverkehr über das VPN und damit über durch die Firma geht. Dann ist aber nicht der Browserverlauf zu sehen, denn der wird vom Browser gespeichert. Es ist zu sehen, welche Server aufgerufen worden sind. facebook.com wird auch ohne Dein Zutun mitunter aufgerufen, weil viele Webseiten diese Social-Network-Buttons auf ihren Seiten haben.

Anders sieht es allerdings aus, wenn die Firma einen TLS-Proxy installiert hat, welcher die HTTPS-Verschlüsselung öffnet. Darüber sollten die Mitarbeiter in der Regel informiert sein. Du kannst das nur prüfen, wenn Du Dir die Zertifikate der Webseiten anschaust. Das Zertifikat von Wikipedia ist z. B. von DigiCert ausgestellt, das von Google von Google Trust Services. Wenn ein TLS-Proxy eingesetzt wird, lautet der Aussteller der Zertifikate anders, und zwar für jede Webseite identisch.

Generell gilt: Niemand wird in der Firma sitzen und ständig überwachen, wer welche Webseite aufruft. Selbst wenn jemand feststellen sollte, dass Du verbotenerweise Facebook aufgerufen hast, gibt es keine Kündigung. Wenn das nur ein einmaliger Aufruf war, wäre das auch festzustellen. Es ist also erkennbar, dass Du nicht ständig und viel Arbeitszeit für privates Daddeln verschwendest. Generell sollte als erstes ein Gespräch mit dem Vorgesetzten stattfinden. Maximal gäbe es eine Abmahnung, die ich aber auch extrem übertrieben empfinden würde. Eine Kündigung gäbe es erst im Wiederholungsfalle.

Über VPN müsste jemand umständlich den Datenverkehr analysieren.

Falls aber jemand, z.B. der Admin Zugriff auf den PC hat, könnte er den Browserverlauf prüfen.

Auch wäre es möglich, dass eine Überwachungssoftware installiert hat. Es wäre auch möglich, dass du im VPN über einen Firmenproxy surfst und dieser protokolliert.

Es ist einfach vieles möglich.

Der IT-Beauftragte kann jeglichen Datenverkehr, der über Diensthardware läuft, auswerten.

Ja, das kann die Firma. Aber warum sollte dein web browser Daten vom Internet über das VPN der Firma reinholen? Nicht bloss weil du mit dem VPN verbunden bist.

Also es kann schon, deinen Computer so einzurichten, dass aller Verkehr über das VPN läuft. Aber wenn das der Fall ist, dann ist das das Resultat davon, auch tatsächlich Aktion dahingehend unternommen zu haben. Bloss mit einem VPN verbinden alleine reicht dafür nicht aus.

Als Folge des Verbindens kann dein Computer zwar die Instruktionen erhalten, die ihn veranlassen, allen seinen Verkehr über das VPN zu leiten (also auch das Reinholen von Facebook Webseiten) - aber für lediglich gesicherten Zugang zum Firmennetzwerk ist dies unnötig, und würde darum im Normalfall auch nicht gemacht.

Kann Firma meinen Browserverlauf sehen über die VPN?

Den Browserverlauf über VPN? Nein.
Dazu müsste sie Zugriff auf den Browser haben.

Kann der Arbeitgeber wenn ich über die VPN der Firma eingeloggt bin ,sehen was ich im Internet gesurft habe?

Nein, aber das ist auch nicht der Browserverlauf - Du solltest Dich vielleicht einigen, was Du fragen möchtest.

Habe einmal die Facebook Website geöffnet und habe jetzt angst vor Kündigung.

Naja - wenn privates Surfen ein sofortiger Kündigungsgrund sein sollte, dann solltest Du unruhig werden, denn dass Du mit einem VPN-Anbieter verbunden warst, das kann anhand der Netzwerklogs definitiv nachvollzogen werden.
Und damit auch, dass Du privat unterwegs warst - egal ob facebook oder p*rnhub... ist vollkommen wuppe. 🤷‍♂️