Der Zugang zur Waschküche ist gesperrt und ich muss meine Wäsche in die Reinigung aufbringen. Kommt dafür mein Vermieter auf?

Wenn die Türe verzogen ist, dann lässt sie sich mit etwas Kraft sicher öffnen.

Dazu braucht es auch keinen Schlosser. Eine Schlosserei ist ein Unternehmen, das Metallbauarbeiten durchführt.

Ist die Türe abgeschlossen, wird ja wohl irgendjemand einen Schlüssel haben.

Deine Wäsche musst Du deswegen nicht in die Reinigung geben. Ein Waschsalon ist deutlich günstiger und tut's genauso.

Deine Vermieterin muss nicht für die Kosten aufkommen, den Mangel aber beheben.

.... leider nicht, solche Transportkosten hat der Auftraggeber zu wuppen.

Ich kann mir auch nicht vorstellen, daß laut Mietvertrag so etwas angemietet wurde aus dem Nachbarhaus.

Du kannst verlangen, dass der Zugang wieder frei gemacht wird. (mit konkreter Terminsetzung) wenn dann nichts geschieht, hast du Anspruch auf Schadensersatz.

Vorher musst du damit leben, dass auch Handwerker nach Terminen arbeiten.

Zu dieser gehört eine Waschküche im Haus nebenan, 

Ist das ausdrücklich im Mietvertrag festgehalten? Falls ja, per Einwurf-Einschreiben deinen Vermieter in informieren und auffordern, den Mangel zu beseitigen. Konkrete Frist nennen.

Eine der Waschmaschinen gehört einem Mitbewohner, die anderer der Vermieterin.

Ist im Mietvertrag ausdrücklich festgehalten, dass du eine dieser Waschmaschinen nutzen darfst?

Wenn ja, könnte eventuell ein Gericht im Streitfall auf die Idee kommen, dir Recht zu geben.

Grundsätzlich ist es aber dein Problem, ob, wie und wo du deine Wäsche reinigst.