Darf man in Parks mit einem Einweggrill grillen?

Das kommt ganz drauf an,  was in der entsprechenden Satzung oder Parkordnung Deiner Stadt steht.

Es gibt Städte, da ist grillen erlaubt oder geduldet, es gibt Städte, da darfst Du den Rasen im Park noch nicht mal betreten oder Dich dort hinlegen.

Einweggrills sind aber in sofern problematisch, dass der Rasen darunter verbrannt wird. Somit wirst Du mit Einweggrills nirgendwo auf Rasen grillen dürfen, da es den Rasen schädigt.

In öffentlichen Parkanlagen und Grünanlagen darf grundsätzlich nicht gegrillt werden. Ausnahmen gibt es zum einen dann, wenn die zuständige Behörde – das sind in der Regel die Ordnungsämter der Städte und Gemeinden – auf Anfrage eine entsprechende Genehmigung erteilt hat. Zum anderen kann man in einer öffentlichen Parkanlage oder Grünanlage grillen, wenn ein Schild einen extra dafür vorgesehenen Grillplatz ausweist.
Oftmals stehen auf den Schildern zusätzliche Hinweise (z.B. zu den erlaubten Grillzeiten oder sonstigen Auflagen), an die sich Grillfreunde halten sollten. Aus Rücksicht auf den Lebensraum von Pflanzen und Tieren ist außerdem darauf zu achten, dass eventuell anfallender Müll ordnungsgemäß entsorgt wird.

Die Verhaltensregeln sind im Normalfall irgendwo ausgehängt. Ansonsten ist das vermutlich von Gemeinde zu Gemeinde unterschiedlich geregelt. Einige Parks haben extra gekennzeichnete Grillflächen.

Grundsätzlich ja, solange es nicht explizit verboten ist. Ansonsten einfach nicht auf Grasflächen sondern nur auf Stein oder Beton/Teer-Boden.

Wenn es lokal nicht ausdrücklich erlaubt wurde, besser nicht.