Darf ich einen Fehler im Arbeitsvertrag (Name wurde falsch geschrieben) eigenständig korrigieren?

Das würde ich nicht tun. Es handelt sich bei einem Arbeitsvertrag ja um eine Urkunde. Du solltest es Deinem Arbeitgeber sagen und ihn bitten, den Vertrag neu auszufertigen.

Also, wenn hier nicht z. B. "Willi Müller" statt "Hans Meier" steht, ist das unerheblich - man selbst sollte hier nichts verändern - das wäre auch nur wirksam, wenn der andere Vertragspartner auf Deinem Exemplar gegenzeichnen würde.

Du kannst aber nachfragen, ob man den Vertrag neu ausstellen könnte...