Ist man in Deutschland als Vermieter verpflichtet ein Vermietertagebuch zu führen?

verpflichtend ist es nicht... aber manchmal ist es empfehlenswert, wenn es darum geht Mieterverfehlungen festzuhalten, woraus sich eine Kündigung entwickeln könnte.

Nein.

Wie kommst Du denn darauf?

Vermieter ist man ganz schnell.