Haftet Vermieter, wenn durch kaputtes Licht jemand stürzt und sich verletzt?

Jein. Es ist die Frage der Verschuldenshaftung. Hat man den Vermieter darauf aufmerksam gemacht (müssen klare Beweise oder Zeugen sein) und er hat nichts unternommen, dann ja. Wird aber trotzdem nicht leicht sein, den Vermieter in die Haftung zu bekommen.

Ich denke nicht dass der Vermieter haftet, weil ein überwiegendes Eigenverschulden eingewandt werden kann. Denn wenn kein Licht brennt, darf auch das Treppengehäuse nicht begangen werden. Man sollte aber vorab auf diesen Umstand hinweisen und Schadensersatzansprüche androhen, wenn nicht sofort eine ordnungsgemäße Beleuchtung wiederhergestellt wird.