Juristisch sind das zwei Paar Schuhe: der Behandlungsvertrag, den Dein Kind bzw. dessen Erziehungsberichtigte mit dem Arzt abschließt und der Versicherungsvertrag den Du für Dein Kind abgeschlossen hast.
Für mein juristischen Laienverständnis bedeutet das: Du hast keinen Behandlungsvertrag bezüglich Deines Kindes mit dem Arzt abgeschlossen, also musst Du die Rechnung auch nicht zahlen.
Da die KV aber über Dich läuft, hängst Du allerdings doch irgendwie mit drin. Wenn irgendwie möglich, solltest Du Dich mit der Kindsmutter einigen. Du bezahlst den Beitrag für die KV, die Mutter die Rechnungen, dafür erhält sie dann den Erstattungsbetrag der KV. Besser würde ich es aber finden, wenn das Kind über die Mutter versichert ist, dann gibt es an der Stelle keine Reibereien. Entweder indem sie das Kind in ihre Versicherung aufnimmt oder indem sie die private KV für das Kind übernimmt.
Und Ärzte sind auch nicht dumm: die schicken die Rechnung an denjenigen, wo sie glauben, am ehesten an ihr Geld zu kommen.