Müssen wir die enormen Heizkosten in einer Altbauwohnung selbst tragen, wenn der Vermieter uns dazu auffordert da es sonst schimmeln würde?

Das hört sich abenteuerlich an. (Dafür kannst du aber nicht, ich meine den Vermieter.)

Ihr geht am besten zum Mieterschutzbund. OK, das kostet etwas, aber es ist es wert. Ich gehe mal davon aus, das da noch mehr Sachen sind, von denen ihr gerade gar keine Ahnung habt.

Das ganze Jahr heizen und 50 cm von der Wand........., ich fasse es nicht. :)

Bin selbst Vermieter. Aber was euer Vermieter verlangt klingt schlicht abenteuerlich! 

Geht zum Mieterschutzbund. Ich gehe davon aus, dass ihr auch einen Grund zur Mietminderung habt. Und das würde ich nur mit dem Mieterschutzbund tun!

Mieterschutzbund ok. Aber es stellt sich die Frage, ob die Vormieter die gleichen Probleme hatten. Es kann durchaus sein, dass Ihr durch Euer Verhalten den Schimmel mitverursacht habt.

Das Trocknen von Wäsche in der Wohnung ist natürlich TABU! Wenn Ihr dann noch viele Pflanzen habt, dann ist das ebenfalls gut für den Schimmel. Solltet Ihr dann auch noch täglich (ausgiebig) duschen und ... - dann ist Schimmel vorprogrammiert.

An Außenwänden sollte man generell keine Schränke stellen - Couch ist ok - aber am besten auch mit etwas Abstand. 50 cm Abstand ist übertrieben - 20 cm durchaus OK.

Achtet selber darauf, möglichst wenig Luftfeuchtigkeit zu produzieren und gut lüften.

Das mit den Vorauszahlungen geht aber zu weit.

Ihr seid in eine Altbauwohnung gezogen und das fordert auch die Mieter ganz anders, als die Mieter von eher neueren Häusern.

Höhere Heizkosten, höherer Heizbedarf und wenn die Mieter nicht so heizen, wie es erforderlich ist, kommt Schimmel.

Bekannte von meinem Vater meinen der Vermieter muss für die erhöhten
Kosten Sorge tragen, da er entweder dämmen muss, oder den Schimmel
bekämpfen oder halt für die Heizkosten aufkommen muss. Stimmt das?

Das stimmt definitiv nicht. Der Vermieter muss nicht dämmen. Den Schimmel bekämpfen muss er nur, wenn er der Verursacher ist. Ist er aber nicht, wenn er Euch klar gelegt hat, was ihr gegen Schimmel unternehmen müßt und ihr Euch nicht daran haltet.

Fakt ist: Die eventuell etwas niedrigere Miete in einer Altbauwohnung wird durch die erhöhten Heizkosten meist mehr als ausgeglichen. Wer sich das nicht leisten kann, muss daher eine andere Wohnung suchen.

Findet der Vermieter am Ende keinen mehr, der sich seine teure Wohnung leisten kann, muss er etwas unternehmen. Zum Beispiel dämmen. Aber das hat erst einmal nichts mit Euch zu tun.

Sucht Euch eine andere Wohnung. Mehr kann ich Euch nicht raten.

Kein Mieter ist verpflichtet, bauliche Mängel durch verstärktes Heizen, übermäßiges Lüften oder/und große Abstände der Möbel von den Wänden auszugleichen. All das sind unangemessene Benachteiligungen des Mieters und von diesen deshalb nicht hinzunehmen. Es kämen deshalb Mietminderungen in Betracht (ab Kenntnis des Vermieters von diesen Mängeln) wie auch die Reklamation (Einspruch) der Heizkostenabrechnung.

Über Google findest du diverse Urteile dazu

Unter den gegebenen Bedingungen empfehle ich die Kündigung des Mietvertrages zum baldmöglichsten Zeitpunkt.